Série d’exercices
Généralités sur les fonctions numériques (rappel et compléments)
Tronc Commun
1ère Bac
Opérations sur les fonctions
Somme, produit, quotient, composée
On peut ajouter, multiplier, diviser et composer des fonctions. Les trois premières opérations se lisent point par point : à chaque abscisse, on combine les deux ordonnées. La composée fonctionne autrement, en chaîne, et c'est cette différence que la figure rend visible.
Définition
\[ (f+g)(x) = f(x) + g(x), \qquad (g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big) \]
L'essentiel
- Somme
- \((f+g)(x) = f(x) + g(x)\)
- Produit
- \((fg)(x) = f(x) \times g(x)\)
- Quotient
- \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}\), \(g(x) \neq 0\)
- Composée
- \((g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big)\)
- Domaine
- L'intersection des domaines, privée des zéros du dénominateur
Ce qu'il faut retenir
- Pour la somme et le produit, on travaille verticalement : à une même abscisse, on combine les deux ordonnées.
- Pour la composée, on travaille en chaîne : \(x\) entre dans \(f\), le résultat entre dans \(g\). L'ordre compte.
- Le quotient perd les points où le dénominateur s'annule, et y présente en général une asymptote verticale.
- Une somme de deux fonctions croissantes est croissante, mais un produit de deux fonctions croissantes ne l'est pas toujours.
Les pièges classiques
- Écrire \(g \circ f = f \circ g\). La composition n'est pas commutative, sauf cas particuliers.
- Oublier de restreindre le domaine du quotient en excluant les zéros du dénominateur.
- Confondre \((fg)(x)\), qui est un produit, et \((g\circ f)(x)\), qui est une composée.
- Pour \(g \circ f\), vérifier que \(f(x)\) appartient bien au domaine de \(g\), sans quoi la composée n'existe pas.
Le cours correspondant.
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