Série d’exercices
Vecteurs de l'espace
Tronc Commun
1ère Bac
Repérage et vecteurs de l'espace
Trois coordonnées au lieu de deux
Dans l'espace, un point a trois coordonnées, et tout le reste suit du plan : les vecteurs s'additionnent pareil, la norme se calcule par Pythagore appliqué deux fois. Le pavé en pointillé rend ce second Pythagore visible.
Définition
\[ M(x\,;\,y\,;\,z) \iff \overrightarrow{OM} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j} + z\,\vec{k} \]
L'essentiel
- Repère
- \((O\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\)
- Norme
- \(\|\overrightarrow{OM}\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
- Milieu
- Coordonnée par coordonnée, comme dans le plan
- Colinéarité
- \(\vec{u} = k\vec{v}\)
- Coplanarité
- \(\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}\)
Ce qu'il faut retenir
- Les coordonnées se lisent sur le pavé dont \(O\) et \(M\) sont deux sommets opposés.
- La norme s'obtient par Pythagore dans le plan de base, puis par Pythagore une seconde fois avec la hauteur.
- Trois vecteurs sont coplanaires quand l'un s'écrit comme combinaison des deux autres. C'est la notion nouvelle par rapport au plan.
- Toutes les formules du plan se transposent en ajoutant simplement la troisième coordonnée.
Les pièges classiques
- Oublier la troisième coordonnée dans un calcul de norme ou de milieu.
- Confondre colinéaires, qui concerne deux vecteurs, et coplanaires, qui en concerne trois.
- Croire que deux droites qui ne se coupent pas sont parallèles. Dans l'espace, elles peuvent être non coplanaires.
- Lire les coordonnées sur le dessin sans passer par le pavé de projection, ce qui mène presque toujours à une erreur.
Le cours correspondant.
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