Évaluation diagnostique : 1ère Bac Sciences Maths BIOF

Durée : 2 heures

Exercice 1

1. 1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(x^2-x-6=0\).

   2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(x^2-x-6<0\).

2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations
   \[\frac{-2x^2+5x-3}{3x^2-2\sqrt6x+2}\leq0 \qquad\text{et}\qquad \frac{x^2-9x+8}{2x-8}\geq0.\]

3. Soit \(x>0\). Montrer que
   \[\frac1{\sqrt{x+1}+\sqrt x}=\sqrt{x+1}-\sqrt x.\]

4. Soit \(n\) un entier naturel impair. Montrer que \(n^2\) est impair.

5. Soit \(P\) un polynôme. Montrer que, pour \(x\neq a\),
   \[\frac{aP(x)-xP(a)}{x-a} =a\frac{P(x)-P(a)}{x-a}-P(a).\]

Exercice 2

Soient \(ABC\) un triangle et \(E\), \(F\), \(P\) les points tels que
\[\overrightarrow{AE}=\frac32\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\]

1. Montrer que \(\overrightarrow{CP}=2\overrightarrow{CB}\).

2. Construire une figure convenable.

3. Montrer que
   \(\overrightarrow{EF}=-\dfrac32\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\) et
   \(\overrightarrow{PF}=-2\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}\).

4. En déduire que les points \(E\), \(F\) et \(P\) sont alignés.

5. Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). Montrer que \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{CI}\) sont colinéaires.

Exercice 3

1. Recopier les identités vraies :

   • \(\cos(-x)=-\cos x\);

   • \(\cos(-x)=\cos x\);

   • \(\sin(-x)=-\sin x\);

   • \(\sin(-x)=\sin x\);

   • \(\cos(\pi+x)=-\cos x\);

   • \(\cos(\pi+x)=\cos x\);

   • \(\sin(\pi+x)=-\sin x\);

   • \(\sin(\pi+x)=\sin x\);

   • \(\cos\left(\frac\pi2+x\right)=-\sin x\);

   • \(\cos\left(\frac\pi2+x\right)=\sin x\);

   • \(\cos\left(\frac\pi2+x\right)=-\cos x\);

   • \(\cos\left(\frac\pi2+x\right)=\cos x\).

2. Déterminer
   \(\cos\dfrac\pi6\), \(\sin\dfrac\pi6\), \(\cos\left(-\dfrac\pi4\right)\),
   \(\sin\left(-\dfrac\pi4\right)\), \(\tan\dfrac\pi6\),
   \(\cos\dfrac\pi2\), \(\sin\dfrac\pi2\) et \(\tan\dfrac\pi3\).

3. Déterminer
   \(\cos\dfrac{2\pi}{3}\), \(\sin\dfrac{4\pi}{3}\),
   \(\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\),
   \(\sin\left(-\dfrac{4\pi}{3}\right)\),
   \(\tan\dfrac{7\pi}{6}\) et \(\tan\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right)\).

Exercice 4

1. Soient \(x,y,z>0\).

   1. Montrer que \(x+\dfrac1x\geq2\).

   2. En déduire
      \[x+y+z+\frac1x+\frac1y+\frac1z\geq6 \quad\text{et}\quad (x+y+z)\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)\geq9.\]

   3. Montrer que \(\dfrac{xy}{x+y}\leq\dfrac{x+y}{4}\).

   4. En déduire
      \[\frac{xy}{x+y}+\frac{yz}{y+z}+\frac{zx}{z+x}\leq\frac{x+y+z}{2}.\]

2. Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Comparer \(\dfrac{2n-1}{2n}\) et \(\dfrac{2n}{2n+1}\).

3. 1. Pour \(a,b,c\in\mathbb{R}\), montrer que \(|a+b|\leq|a|+|b|\) et \(|a|-|b|\leq|a-b|\).

   2. Montrer que, si \(a+b+c=0\), alors \(a^3+b^3+c^3=3abc\).