Calcul vectoriel
Table des matières
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Notion de vecteur
Définition
Définition
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan \((P)\).
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est caractérisé par trois données :
-
Une direction : celle de la droite \((AB)\).
-
Un sens : de \(A\) vers \(B\).
-
Une norme (ou longueur) : \(\|\overrightarrow{AB}\|=AB\).
\(A\) est l’origine et \(B\) l’extrémité du vecteur.
Définition
Le vecteur nul, noté \(\overrightarrow{0}\), est défini par \(\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}\) pour tout point \(A\). Il n’a ni direction ni sens, et sa norme est nulle.
Exemple
Sur la figure, relever des vecteurs égaux, opposés et de même direction. Justifier chaque réponse géométriquement.
Égalité et opposition
Définition
Deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont :
-
égaux, si et seulement s’ils ont même direction, même sens et même norme. On écrit \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\).
-
opposés, si et seulement s’ils ont même direction, même norme et des sens opposés. On écrit \(\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}\).
En particulier, \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés : \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\).
Propriété
Soient \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) quatre points du plan deux à deux distincts. Les énoncés suivants sont équivalents :
-
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).
-
\(ABCD\) est un parallélogramme.
-
Les segments \([AC]\) et \([BD]\) ont le même milieu.
Propriété
Pour tout vecteur \(\overrightarrow{u}\) et tout point \(A\) du plan, il existe un unique point \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{u}\).
Exemple
À partir du parallélogramme \(ABDC\), comparer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\), puis \(\overrightarrow{BD}\) et \(\overrightarrow{CA}\).
Exercice n°1
Soit \(ABCD\) un parallélogramme de centre \(O\).
-
Donner un vecteur égal à \(\overrightarrow{AB}\).
-
Donner le vecteur opposé de \(\overrightarrow{AD}\).
-
Simplifier \(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}\), puis exprimer le résultat en fonction de \(\overrightarrow{AO}\).
Somme de deux vecteurs
Relation de Chasles
Théorème
Relation de Chasles. Pour tous points \(A\), \(B\), \(C\) du plan :
\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.\]
Remarque
Cas particulier : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}\), donc \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\).
Exemple
Simplifier, à l’aide de la relation de Chasles,
\[\overrightarrow{U}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{V}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{FA}.\]
Règle du parallélogramme
Théorème
Soient \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) des points du plan. Les énoncés suivants sont équivalents :
-
\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\).
-
\(ABDC\) est un parallélogramme.
-
Les segments \([AD]\) et \([BC]\) ont le même milieu.
Exercice n°2
Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points du plan non alignés. On considère deux points \(D\) et \(E\) vérifiant :
\[\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\quad\text{et}\quad \overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}.\]
-
Faire une figure.
-
Déterminer la nature du quadrilatère \(EACB\).
Multiplication d’un vecteur par un réel
Définition
Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur non nul du plan et \(k\) un réel non nul. Le produit du vecteur \(\overrightarrow{u}\) par \(k\) est le vecteur \(k\overrightarrow{u}\) tel que :
-
\(k\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u}\) ont la même direction.
-
\(k\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u}\) ont le même sens si \(k>0\), des sens opposés si \(k<0\).
-
\(\|k\overrightarrow{u}\| = |k| \cdot \|\overrightarrow{u}\|\).
Remarque
-
\(k\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\) ; \(\ 0\cdot\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\) ; \(\ 1\cdot\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}\) ; \(\ (-1)\cdot\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{u}\).
-
\(k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\iff (k=0\) ou \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0})\).
Propriété
Pour tous vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) du plan et tous réels \(a\), \(b\) :
\[\begin{align*} a(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) &= a\overrightarrow{u}+a\overrightarrow{v}, & (a+b)\overrightarrow{u} &= a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{u}, \\ a(b\overrightarrow{u}) &= (ab)\overrightarrow{u}, & a(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) &= a\overrightarrow{u}-a\overrightarrow{v}, \\ (a-b)\overrightarrow{u} &= a\overrightarrow{u}-b\overrightarrow{u}. \end{align*}\]
Exemple
Simplifier
\[\overrightarrow{U}=2(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})-4\left(\tfrac12\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right),\qquad \overrightarrow{V}=\tfrac13(3\overrightarrow{u}-9\overrightarrow{v})+\tfrac12(2\overrightarrow{u}+6\overrightarrow{v}-2\overrightarrow{u}).\]
Exercice n°3
Soit \(ABC\) un triangle, \(\overrightarrow{i}=\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{j}=\overrightarrow{AC}\). Construire le vecteur \(3\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}\).
Construire une combinaison linéaire
Propriété
Pour construire \(a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}\), on construit d’abord des représentants de \(a\overrightarrow{u}\) et \(b\overrightarrow{v}\), puis on les additionne par la règle du parallélogramme ou par mise bout à bout. Le signe fixe le sens et la valeur absolue fixe la longueur.
Exemple
Construire, à partir de représentants de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\), les vecteurs
\(2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\) et \(-\frac12\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}\).
Colinéarité de deux vecteurs
Définition
Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel \(k\) tel que :
\[\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}\quad\text{ou}\quad \overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}.\]
Remarque
-
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
-
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s’ils ont la même direction.
Propriété
-
Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points tels que \(A\neq C\). Ils sont alignés si et seulement s’il existe \(k\in\mathbb{R}\) tel que \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\).
-
Soit \((AB)\) une droite. Un point \(M\) appartient à \((AB)\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont colinéaires.
-
Deux droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
Exemple
Dans un triangle \(ABC\), les points \(E\) et \(F\) vérifient
\(\overrightarrow{AF}=\frac43\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{CE}=\frac14\overrightarrow{AB}\).
Montrer que \(E\), \(F\) et \(B\) sont alignés.
Exercice n°4
Soit \(ABC\) un triangle, \(E\) et \(F\) tels que \(\overrightarrow{AE}=\tfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AF}=\tfrac{4}{3}\overrightarrow{AC}\).
-
Faire une figure.
-
Écrire \(\overrightarrow{EC}\) et \(\overrightarrow{BF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
-
Montrer que les droites \((EC)\) et \((BF)\) sont parallèles.
Milieu d’un segment
Propriété
Soient \(A\), \(B\), \(I\) trois points du plan. Les énoncés suivants sont équivalents :
-
\(I\) est le milieu du segment \([AB]\).
-
\(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\).
-
\(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).
-
\(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\).
Propriété
Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors pour tout point \(M\) du plan :
\[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\,\overrightarrow{MI}.\]
Exercice n°5
Soit \(ABC\) un triangle, et \(E\), \(F\) tels que :
\[\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\quad\text{et}\quad \overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}.\]
Montrer que \(C\) est le milieu du segment \([EF]\).
Centre de gravité d’un triangle
Définition
Soit \(ABC\) un triangle. Une médiane de \(ABC\) est un segment reliant un sommet au milieu du côté opposé.
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité (ou isobarycentre) du triangle, généralement noté \(G\).
Théorème
Soit \(ABC\) un triangle, et soit \(G\) un point du plan. Les énoncés suivants sont équivalents :
-
\(G\) est le centre de gravité du triangle \(ABC\).
-
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
-
\(\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\!\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\).
-
Si \(A'\) est le milieu de \([BC]\), alors \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}\).
Propriété
Si \(G\) est le centre de gravité du triangle \(ABC\), alors pour tout point \(M\) :
\[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}.\]
Exercice n°6
Soit \(ABC\) un triangle, \(G\) son centre de gravité et \(A'\) le milieu de \([BC]\).
-
Montrer que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}\).
-
En déduire que \(G\) est situé sur la médiane issue de \(A\), aux deux tiers à partir de \(A\).
Exercice n°7
Soit \(ABC\) un triangle, et soient les points \(E\), \(F\), \(H\) définis par :
\[\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC},\quad \overrightarrow{CH}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}.\]
-
Montrer que les triangles \(ABC\) et \(EFH\) ont le même centre de gravité.