Droite dans le plan
Table des matières
Repère du plan
Définition d’un repère
Définition
Soient \(O\) un point du plan et \((\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) deux vecteurs non colinéaires.
Le triplet \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) est appelé un repère du plan.
-
\(O\) est l’origine du repère.
-
\((\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) est la base du repère.
Définition
Le repère \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) est dit :
-
orthogonal si \(\overrightarrow{i}\perp\overrightarrow{j}\).
-
normé si \(\|\overrightarrow{i}\|=\|\overrightarrow{j}\|=1\).
-
orthonormé s’il est à la fois orthogonal et normé.
Coordonnées d’un point
Définition
Soit \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) un repère du plan et \(M\) un point du plan.
Il existe un unique couple \((x,y)\in\mathbb{R}^{2}\) tel que :
\[\overrightarrow{OM}=x\,\overrightarrow{i}+y\,\overrightarrow{j}.\]
Le couple \((x,y)\) est appelé coordonnées du point \(M\) dans le repère \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) :
-
\(x\) est l’abscisse de \(M\).
-
\(y\) est l’ordonnée de \(M\).
On note \(M(x\,;y)\) ou \(M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\).
Exemple
Dans un repère, \(A(3;1)\) et \(B(-1;4)\). Exprimer \(\overrightarrow{AB}\) dans la base \((\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\).
Exercice n°1
Dans un repère \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\), on donne \(A(2\,;3)\), \(B(-1\,;1)\) et \(C(4\,;-2)\).
-
Placer les points \(A\), \(B\) et \(C\).
-
Déterminer les coordonnées du point \(D\) tel que \(\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\).
-
Déterminer les coordonnées du point \(E\) tel que \(\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{OC}\).
Coordonnées d’un vecteur
Définition des coordonnées
Définition
Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur du plan. Dans le repère \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\), il existe un unique couple \((x,y)\in\mathbb{R}^{2}\) tel que :
\[\overrightarrow{u}=x\,\overrightarrow{i}+y\,\overrightarrow{j}.\]
Le couple \((x,y)\) est appelé coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{u}\). On note \(\overrightarrow{u}(x\,;y)\) ou \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\).
Propriété
Soient \(A(x_{A}\,;y_{A})\) et \(B(x_{B}\,;y_{B})\) deux points du plan. Alors :
\[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_{B}-x_{A}\\ y_{B}-y_{A}\end{pmatrix}.\]
Exemple
Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) pour \(A(2;-1)\) et \(B(5;3)\).
Opérations en coordonnées
Propriété
Soient \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}\) deux vecteurs et \(k\in\mathbb{R}\).
-
\(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x+x'\\ y+y'\end{pmatrix}\).
-
\(k\,\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}kx\\ ky\end{pmatrix}\).
-
\(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\iff x=x'\) et \(y=y'\).
Exemple
Pour \(\overrightarrow{u}(2;-3)\) et \(\overrightarrow{v}(1;4)\), calculer \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\) et \(3\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}\).
Exercice n°2
Dans un repère \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\), on donne \(A(2\,;-1)\), \(B(5\,;3)\) et \(C(-1\,;2)\).
-
Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
-
Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\).
-
Déterminer les coordonnées du point \(D\) tel que \(\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}\).
Colinéarité et milieu
Colinéarité de deux vecteurs
Théorème
Critère du déterminant.
Soient \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}\) deux vecteurs du plan.
\(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires si et seulement si :
\[\det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=xy'-yx'=0.\]
Remarque
On note souvent : \(\det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\begin{vmatrix}x & x'\\ y & y'\end{vmatrix}=xy'-yx'\).
Exemple
Étudier la colinéarité de \(\overrightarrow{u}(2;3)\) et \(\overrightarrow{v}(-4;-6)\).
Propriété
Trois points \(A\), \(B\) et \(C\) du plan sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, c’est-à-dire :
\[\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0.\]
Exemple
Les points \(A(1;2)\), \(B(3;5)\) et \(C(7;11)\) sont-ils alignés ? Justifier par un déterminant.
Coordonnées du milieu d’un segment
Propriété
Soient \(A(x_{A}\,;y_{A})\) et \(B(x_{B}\,;y_{B})\) deux points du plan.
Les coordonnées du milieu \(I\) du segment \([AB]\) sont :
\[I\!\left(\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}\,;\,\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}\right).\]
Exemple
Déterminer les coordonnées du milieu de \([AB]\) lorsque \(A(2;-3)\) et \(B(6;5)\).
Exercice n°3
Dans un repère \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\), on donne \(A(1\,;2)\), \(B(4\,;8)\) et \(C(-2\,;-4)\).
-
Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
-
Montrer que \(A\) est le milieu du segment \([BC]\).
-
Les vecteurs \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\ -3\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-6\\ 9\end{pmatrix}\) sont ils colinéaires ?
Norme et distance (repère orthonormé)
Théorème
Dans un repère orthonormé \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\), si \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\), alors :
\[\|\overrightarrow{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.\]
Propriété
Dans un repère orthonormé, si \(A(x_{A}\,;y_{A})\) et \(B(x_{B}\,;y_{B})\), alors :
\[AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}.\]
Exemple
Dans un repère orthonormé, calculer \(AB\) pour \(A(1;2)\) et \(B(4;6)\).
Exercice n°4
Le repère \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) est orthonormé. On donne \(A(1\,;1)\), \(B(4\,;5)\) et \(C(-3\,;4)\).
-
Calculer \(AB\), \(AC\) et \(BC\).
-
Le triangle \(ABC\) est il isocèle ?
-
Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
Équations d’une droite
Vecteur directeur d’une droite
Définition
Soit \((D)\) une droite du plan passant par deux points distincts \(A\) et \(B\).
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est appelé un vecteur directeur de la droite \((D)\).
Plus généralement, tout vecteur \(\overrightarrow{u}\) non nul et colinéaire à \(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur directeur de \((D)\).
Propriété
Un point \(M\) appartient à la droite \((D)\) passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont colinéaires.
Équation cartésienne
Théorème
Soit \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) un repère du plan.
Toute droite \((D)\) du plan admet une équation de la forme :
\[ax+by+c=0,\]
où \((a,b)\neq (0,0)\). Cette équation est appelée une équation cartésienne de la droite \((D)\).
Réciproquement, l’ensemble des points \(M(x\,;y)\) vérifiant \(ax+by+c=0\) avec \((a,b)\neq(0,0)\) est une droite du plan.
Propriété
Si \((D)\) admet pour équation cartésienne \(ax+by+c=0\), alors un vecteur directeur de \((D)\) est :
\[\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\ a\end{pmatrix}.\]
Exemple
Donner un vecteur directeur de la droite \(2x-3y+6=0\) et vérifier qu’il convient.
Équation paramétrique
Théorème
Soit \((D)\) la droite passant par \(A(x_{A}\,;y_{A})\) de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\end{pmatrix}\).
Un point \(M(x\,;y)\) appartient à \((D)\) si et seulement s’il existe \(t\in\mathbb{R}\) tel que :
\[\begin{cases} x=x_{A}+t\,\alpha \\ y=y_{A}+t\,\beta \end{cases} \qquad (t\in\mathbb{R}).\]
Ce système est appelé représentation paramétrique de la droite \((D)\).
Exemple
Déterminer une représentation paramétrique puis une équation cartésienne de la droite passant par \(A(1;-2)\) et dirigée par \(\overrightarrow{u}(2;3)\).
Coefficient directeur et équation réduite
Définition
Soit \((D)\) une droite non verticale (c’est-à-dire non parallèle à l’axe des ordonnées).
Si \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \((D)\) (avec \(\alpha\neq 0\)), on appelle coefficient directeur (ou pente) de \((D)\) le réel :
\[m=\dfrac{\beta}{\alpha}.\]
Théorème
Toute droite \((D)\) non verticale admet une équation de la forme :
\[y=mx+p,\]
où \(m\) est le coefficient directeur et \(p\) l’ordonnée à l’origine. Cette équation est appelée équation réduite de \((D)\).
Remarque
-
Toute droite verticale a une équation de la forme \(x=k\) (où \(k\in\mathbb{R}\)). Elle n’admet pas d’équation réduite.
-
Toute droite horizontale a une équation de la forme \(y=k\), soit \(m=0\).
Exemple
Mettre \(2x-3y+6=0\) sous forme réduite et lire son coefficient directeur et son ordonnée à l’origine.
Droite passant par deux points
Propriété
Soient \(A(x_{A}\,;y_{A})\) et \(B(x_{B}\,;y_{B})\) deux points distincts du plan tels que \(x_{A}\neq x_{B}\).
La droite \((AB)\) a pour coefficient directeur :
\[m=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}.\]
Exemple
Déterminer l’équation réduite de la droite passant par \(A(1;2)\) et \(B(4;8)\).
Exercice n°5
-
Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par \(A(1\,;2)\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3\\ -1\end{pmatrix}\).
-
Déterminer l’équation réduite de la droite \((AB)\), où \(A(-1\,;5)\) et \(B(2\,;-1)\).
-
Le point \(C(4\,;-5)\) appartient il à la droite \((AB)\) ?
Position relative de deux droites
Théorème
Soient \((D)\) et \((D')\) deux droites du plan, de vecteurs directeurs respectifs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u'}\). Alors :
-
\((D)\) et \((D')\) sont parallèles si et seulement si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u'}\) sont colinéaires.
-
\((D)\) et \((D')\) sont sécantes si et seulement si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u'}\) ne sont pas colinéaires.
Propriété
Soient \((D):ax+by+c=0\) et \((D'):a'x+b'y+c'=0\) deux droites.
-
\((D)\parallel(D')\iff ab'-a'b=0\).
-
\((D)\) et \((D')\) sécantes \(\iff ab'-a'b\neq 0\).
Propriété
Pour les équations réduites \((D):y=mx+p\) et \((D'):y=m'x+p'\) :
-
\((D)\parallel(D')\iff m=m'\).
-
\((D)=(D')\iff m=m'\) et \(p=p'\).
Exemple
Étudier la position relative de \((D):2x-3y+1=0\) et \((D'):4x-6y+5=0\).
Exemple
Déterminer graphiquement puis algébriquement le point d’intersection de
\(x+y-3=0\) et \(2x-y-3=0\).
Exercice n°6
Dans un repère orthonormé, on donne les points \(A(-1\,;3)\), \(B(5\,;1)\), \(C(2\,;-3)\).
-
Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).
-
Calculer la distance \(AB\).
-
Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
-
Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par \(C\) et parallèle à \((AB)\).
Exercice n°7
Soient \((D_{1}):3x-2y+1=0\) et \((D_{2}):6x-4y-5=0\).
-
Donner un vecteur directeur de chacune de ces droites.
-
Étudier la position relative de \((D_{1})\) et \((D_{2})\).
Exercice n°8
Soit \((D)\) la droite passant par \(A(2\,;-1)\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-1\\ 3\end{pmatrix}\).
-
Donner une représentation paramétrique de \((D)\).
-
En déduire une équation cartésienne de \((D)\).
-
Le point \(B(0\,;5)\) appartient-il à \((D)\) ?
Lecture graphique
Exemple
Lire graphiquement deux points de chaque droite, estimer leurs coefficients directeurs et leur point d’intersection, puis retrouver leurs équations.