Table des matières
Relation d’ordre dans \(\mathbb{R}\)
Définition
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
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\(a\leq b\) signifie que \(b-a\geq 0\).
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\(a<b\) signifie que \(b-a>0\).
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\(a\geq b\) signifie que \(a-b\geq 0\).
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\(a>b\) signifie que \(a-b>0\).
Propriété
Propriétés de la relation \(\leq\) :
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Réflexivité : \(a\leq a\) pour tout \(a\in\mathbb{R}\).
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Antisymétrie : si \(a\leq b\) et \(b\leq a\), alors \(a=b\).
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Transitivité : si \(a\leq b\) et \(b\leq c\), alors \(a\leq c\).
Exemple
Comparer \(a=\frac37\) et \(b=\frac5{11}\) en étudiant le signe de \(b-a\).
Exercice n°1
Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(x\leq y\).
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Montrer que \(x\leq \dfrac{x+y}{2}\leq y\).
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En déduire qu’entre deux réels distincts il existe toujours un troisième réel.
Compatibilité de l’ordre avec les opérations
Propriété
Pour tous réels \(a,b,c,d\) :
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\(a\leq b \iff a+c\leq b+c\) (compatibilité avec l’addition).
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Si \(a\leq b\) et \(c\leq d\), alors \(a+c\leq b+d\).
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Si \(a\leq b\) et \(c\geq 0\), alors \(a\,c\leq b\,c\).
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Si \(a\leq b\) et \(c\leq 0\), alors \(a\,c\geq b\,c\) (le sens change).
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Si \(0\leq a\leq b\) et \(0\leq c\leq d\), alors \(0\leq a\,c\leq b\,d\).
Propriété
Passage à l’inverse :
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Si \(0<a\leq b\), alors \(0<\dfrac{1}{b}\leq \dfrac{1}{a}\).
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Si \(a\leq b<0\), alors \(\dfrac{1}{b}\leq \dfrac{1}{a}<0\).
Propriété
Passage au carré :
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Si \(0\leq a\leq b\), alors \(a^{2}\leq b^{2}\).
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Si \(a\leq b\leq 0\), alors \(a^{2}\geq b^{2}\).
Propriété
Passage à la racine carrée : si \(0\leq a\leq b\), alors \(\sqrt{a}\leq \sqrt{b}\).
Exemple
Comparer \(\sqrt3+1\) et \(\sqrt5\) en utilisant le fait que ces nombres sont positifs.
Exercice n°2
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\).
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Comparer \(a^{3}\) et \(b^{3}\) dans le cas où \(0\leq a<b\).
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Comparer \(\dfrac{1}{a}\) et \(\dfrac{1}{b}\) dans le cas où \(a<b<0\).
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Les inégalités \(a<b\) et \(a^{2}<b^{2}\) sont elles équivalentes ? Donner un contre exemple.
Intervalles de \(\mathbb{R}\)
Définition
Soient \(a,b\in\mathbb{R}\) avec \(a\leq b\). On définit les intervalles suivants :
| Notation | Définition | Représentation |
|---|---|---|
| \([a\,;b]\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ /\ a\leq x\leq b\}\) | intervalle fermé |
| \(]a\,;b[\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ /\ a<x<b\}\) | intervalle ouvert |
| \([a\,;b[\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ /\ a\leq x<b\}\) | semi-ouvert à droite |
| \(]a\,;b]\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ /\ a<x\leq b\}\) | semi-ouvert à gauche |
| \([a\,;+\infty[\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ /\ x\geq a\}\) | demi-droite fermée |
| \(]a\,;+\infty[\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ /\ x>a\}\) | demi-droite ouverte |
| \(]-\infty\,;a]\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ /\ x\leq a\}\) | demi-droite fermée |
| \(]-\infty\,;a[\) | \(\{x\in\mathbb{R}\ /\ x<a\}\) | demi-droite ouverte |
| \(]-\infty\,;+\infty[\) | \(\mathbb{R}\) | droite réelle |
Définition
Opérations sur les intervalles.
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L’intersection \(I\cap J\) est l’ensemble des éléments appartenant à \(I\) et à \(J\).
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La réunion \(I\cup J\) est l’ensemble des éléments appartenant à \(I\) ou à \(J\).
Exemple
Déterminer \([1;5]\cap[3;7]\), \([1;5]\cup[3;7]\) et
\(]-\infty;2]\cap[5;+\infty[\).
Exercice n°3
On pose \(I=[-3\,;4[\) et \(J=\left]1\,;6\right]\).
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Déterminer \(I\cap J\).
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Déterminer \(I\cup J\).
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Déterminer \(\mathbb{R}\setminus I\).
Valeur absolue
Définition
Pour tout réel \(x\), la valeur absolue de \(x\), notée \(|x|\), est définie par :
\[|x|=\begin{cases}x & \text{si } x\geq 0 \\ -x & \text{si } x<0.\end{cases}\]
Exemple
Calculer \(|5|\), \(|-3|\), \(|\sqrt2-1|\) et \(|2-\sqrt5|\).
Propriété
Pour tous réels \(x,y\) :
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\(|x|\geq 0\), et \(|x|=0\iff x=0\).
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\(|-x|=|x|\).
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\(|x|=\sqrt{x^{2}}\).
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\(|xy|=|x|\cdot|y|\).
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\(\left|\dfrac{x}{y}\right|=\dfrac{|x|}{|y|}\) (si \(y\neq 0\)).
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\(|x+y|\leq |x|+|y|\) (inégalité triangulaire).
Définition
Distance entre deux réels. Pour tous réels \(a\) et \(b\), la distance entre \(a\) et \(b\) est :
\[d(a,b)=|b-a|=|a-b|.\]
Propriété
Soient \(a\in\mathbb{R}\) et \(r>0\). Alors :
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\(|x-a|\leq r \iff a-r\leq x\leq a+r \iff x\in[a-r\,;a+r]\).
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\(|x-a|<r \iff x\in]a-r\,;a+r[\).
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\(|x-a|\geq r \iff x\leq a-r\) ou \(x\geq a+r\), i.e. \(x\in]-\infty\,;a-r]\cup[a+r\,;+\infty[\).
Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(|2x-3|\leq5\).
Exercice n°4
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
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\(|x-3|=5\) ;
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\(|2x+1|\leq 7\) ;
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\(|x-1|>2\).
Encadrement et approximation
Définition
Encadrer un réel \(x\), c’est trouver deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(a\leq x\leq b\).
La différence \(b-a\) est appelée l’amplitude de l’encadrement. La précision d’une valeur approchée désigne, elle, une borne sur l’erreur.
Exemple
Donner l’amplitude de l’encadrement \(1{,}41\leq\sqrt2\leq1{,}42\).
Valeur approchée
Définition
Soit \(x\in\mathbb{R}\) et \(a\in\mathbb{R}\). On dit que \(a\) est une valeur approchée de \(x\) à la précision \(\varepsilon>0\) près si :
\[|x-a|\leq\varepsilon, \quad\text{c'est-à-dire}\quad a-\varepsilon\leq x\leq a+\varepsilon.\]
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Si \(a\leq x\), on dit que \(a\) est une valeur approchée par défaut.
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Si \(a\geq x\), on dit que \(a\) est une valeur approchée par excès.
Exemple
Donner une valeur approchée de \(\sqrt2\) à \(10^{-3}\) près, puis une valeur approchée par défaut de \(\pi\) à \(10^{-2}\) près.
Partie entière
Définition
La partie entière d’un réel \(x\), notée \(E(x)\) ou \(\lfloor x\rfloor\), est l’unique entier \(n\in\mathbb{Z}\) tel que :
\[n\leq x<n+1.\]
Exemple
Déterminer \(E(3{,}7)\), \(E(5)\), \(E(-2{,}3)\) et \(E(\pi)\).
Exercice n°5
On donne l’encadrement \(3{,}141\leq \pi\leq 3{,}142\).
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Donner un encadrement de \(2\pi\), puis de \(\pi^{2}\).
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Préciser l’amplitude de chacun de ces deux encadrements.
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Le nombre \(3{,}141\) est il une valeur approchée de \(\pi\) à \(10^{-3}\) près ?
Est elle par défaut ou par excès ?
Exercice n°6
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Déterminer \(E(x)\) pour \(x=4{,}9\), puis pour \(x=-4{,}9\), puis pour \(x=\dfrac{22}{7}\).
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Justifier que, pour tout réel \(x\), \(E(x)\leq x<E(x)+1\).
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En déduire un encadrement du réel \(x-E(x)\).
Exercice n°7
Soit \(x\in[2\,;5]\). Encadrer les expressions suivantes :
\[A=3x-1,\quad B=-2x+4,\quad C=x^{2},\quad D=\dfrac{1}{x}.\]