Table des matières
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Vocabulaire et tableau statistique
Définition
Une série statistique étudie un caractère sur une population. Chaque élément est un individu. Le caractère est qualitatif ou quantitatif ; un caractère quantitatif est discret ou continu.
Propriété
Pour la valeur \(x_i\), l’effectif est \(n_i\), la fréquence est \(f_i=\frac{n_i}{N}\) et
\[N=\sum n_i,\qquad \sum f_i=1.\]
Pour un caractère continu, on regroupe les valeurs en classes.
Représentations graphiques
Propriété
-
Diagramme en bâtons : caractère discret.
-
Diagramme à bandes ou diagramme en ruban : comparer des fréquences.
-
Diagramme circulaire : l’angle d’un secteur vaut \(360^\circ f_i\).
-
Histogramme : caractère continu regroupé en classes.
Remarque
Dans un histogramme à classes d’amplitudes différentes, l’aire de chaque rectangle représente l’effectif. Sa hauteur est donc proportionnelle à la densité \(\frac{n_i}{\text{amplitude}}\).
Exemple
Construire un diagramme en ruban et un diagramme circulaire à partir de fréquences données, puis construire l’histogramme d’une série dont les classes n’ont pas toutes la même amplitude.
Paramètres de position
Définition
\[\overline x=\frac1N\sum n_ix_i=\sum f_ix_i.\]
Le mode est la valeur la plus fréquente. Une médiane est une
valeur qui partage une série ordonnée en deux groupes dont les effectifs
diffèrent d’au plus une unité : au moins la moitié des données lui sont
inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.
Remarque
Pour des données regroupées en classes, on remplace chaque classe par son centre : la moyenne et les paramètres calculés sont alors des estimations, notées avec \(\approx\).
Paramètres de dispersion
Définition
\[e=x_{\max}-x_{\min}\]
\[d=\frac1N\sum n_i|x_i-\overline x|\]
\[V=\frac1N\sum n_i(x_i-\overline x)^2,\qquad \sigma=\sqrt V.\]
\(e\) est l’étendue, \(d\) l’écart moyen, \(V\) la variance et \(\sigma\) l’écart-type.
Propriété
\[V=\frac1N\sum n_ix_i^2-\overline x^{\,2}.\]
À moyennes comparables, une petite valeur de \(d\) ou \(\sigma\) indique une série plus homogène ; une grande valeur indique davantage de dispersion.
Effectifs cumulés et lecture graphique
Définition
L’effectif cumulé croissant associé à \(x_i\) compte les valeurs inférieures ou égales à \(x_i\). La courbe cumulative permet d’estimer graphiquement la médiane et les proportions sous un seuil.
Exemple
Pour les résultats de \(80\) élèves d’un même niveau, tracer la courbe des effectifs cumulés, estimer la médiane et lire le nombre d’élèves ayant une note inférieure à un seuil donné.
Interpréter une série
Propriété
Une conclusion statistique doit mentionner le niveau central (moyenne ou médiane), la dispersion, la forme du graphique et le contexte. Les paramètres calculés sur des classes restent approximatifs.
Exemple
Deux établissements publient les moyennes et écarts-types d’un même devoir. Comparer les performances et la régularité sans confondre moyenne élevée et faible dispersion.
À retenir. Construire un tableau fiable, choisir une représentation adaptée, calculer les paramètres, distinguer valeur exacte et estimation par classes, puis interpréter dans le contexte.