Fonctions numériques
Table des matières
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Notion de fonction numérique
Définition
Soit \(D\) une partie de \(\mathbb{R}\).
Une fonction numérique \(f\) de variable réelle, définie sur \(D\), est une correspondance qui à tout réel \(x\in D\) associe un unique réel noté \(f(x)\).
On note : \(f:D\to\mathbb{R}\), \(x\mapsto f(x)\).
-
\(D\) est l’ensemble de définition de \(f\), noté \(D_{f}\).
-
\(f(x)\) est l’image de \(x\) par \(f\).
-
\(x\) est un antécédent de \(f(x)\) par \(f\).
Exemple
Soit \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}\).
-
Déterminer \(D_{f}\).
-
Calculer l’image de \(0\).
-
Déterminer l’antécédent de \(1\).
Remarque
Recherche du domaine, règles usuelles :
-
Un quotient \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) existe ssi \(Q(x)\neq 0\).
-
\(\sqrt{P(x)}\) existe ssi \(P(x)\geq 0\).
-
\(\dfrac{1}{\sqrt{P(x)}}\) existe ssi \(P(x)>0\).
Exercice n°1
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
\[f(x)=\sqrt{x-2},\quad g(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}-4},\quad h(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x-6}},\quad k(x)=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x-1}.\]
Représentation graphique
Définition
Dans un repère \((O\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\), la courbe représentative de \(f\), notée \(\mathcal{C}_{f}\), est l’ensemble des points \(M(x\,;y)\) tels que :
\[x\in D_{f}\quad\text{et}\quad y=f(x).\]
Remarque
Un point \(M(x_{0}\,;y_{0})\) appartient à \(\mathcal{C}_{f}\) si et seulement si \(x_{0}\in D_{f}\) et \(y_{0}=f(x_{0})\).
Exemple
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^{2}-3\).
Les points \(A(2\,;1)\) et \(B(-1\,;-1)\) appartiennent ils à \(\mathcal{C}_{f}\) ?
Propriété
La courbe \(\mathcal C_f\) permet de lire graphiquement :
-
l’image \(f(a)\) comme l’ordonnée du point de \(\mathcal C_f\) d’abscisse \(a\) ;
-
les antécédents de \(b\) comme les abscisses des intersections de \(\mathcal C_f\) avec la droite \(y=b\) ;
-
les solutions de \(f(x)=g(x)\) comme les abscisses des intersections de \(\mathcal C_f\) et \(\mathcal C_g\) ;
-
les solutions de \(f(x)\leq g(x)\) sur les intervalles où \(\mathcal C_f\) est en dessous de \(\mathcal C_g\).
Exemple
La figure représente \(f(x)=-(x-1)^2+4\) et \(g(x)=x+1\).
-
Lire \(f(0)\) et les antécédents de \(3\) par \(f\).
-
Résoudre graphiquement \(f(x)=g(x)\) puis \(f(x)\leq g(x)\).
Exercice n°2
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2x-5\).
-
Déterminer le point de \(\mathcal{C}_{f}\) d’abscisse \(3\).
-
Déterminer le point de \(\mathcal{C}_{f}\) d’ordonnée \(-1\).
-
Le point \(C(-2\,;-9)\) appartient il à \(\mathcal{C}_{f}\) ?
Égalité de deux fonctions
Définition
Deux fonctions \(f\) et \(g\) sont égales, et l’on écrit \(f=g\), si et seulement si :
-
\(D_{f} = D_{g}\).
-
\(\forall x\in D_{f},\ f(x)=g(x)\).
Exemple
Soient \(f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}\) et \(g(x)=x+1\).
-
Déterminer \(D_{f}\) et \(D_g\).
-
Comparer \(f(x)\) et \(g(x)\) sur leur domaine commun.
-
Les fonctions \(f\) et \(g\) sont elles égales ? Justifier.
Exercice n°3
Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies par \(f(x)=\sqrt{x^{2}}\) et \(g(x)=x\).
-
Déterminer \(D_{f}\) et \(D_{g}\). Que remarque t on ?
-
Les fonctions \(f\) et \(g\) sont elles égales ? Justifier par une valeur de \(x\).
-
Sur quel ensemble coïncident elles ?
Parité d’une fonction
Définition
Soit \(f\) une fonction de domaine \(D_{f}\).
-
\(f\) est paire si pour tout \(x\in D_{f}\) : \(-x\in D_{f}\) et \(f(-x)=f(x)\).
-
\(f\) est impaire si pour tout \(x\in D_{f}\) : \(-x\in D_{f}\) et \(f(-x)=-f(x)\).
La condition « \(-x\in D_{f}\) » signifie que \(D_{f}\) est symétrique par rapport à \(0\).
Propriété
Dans un repère orthonormé :
-
Si \(f\) est paire, alors \(\mathcal{C}_{f}\) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
-
Si \(f\) est impaire, alors \(\mathcal{C}_{f}\) est symétrique par rapport à l’origine \(O\).
Exemple
Étudier la parité des fonctions suivantes en justifiant chaque réponse.
-
\(f(x)=x^{2}+1\).
-
\(g(x)=x^{3}-x\).
-
\(h(x)=x^{2}+x\).
Exercice n°4
Étudier la parité des fonctions suivantes :
\[f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1},\quad g(x)=\dfrac{x}{x^{2}-1},\quad h(x)=\sqrt{x^{2}+1}-x,\quad k(x)=|x|+x^{4}.\]
Sens de variation et monotonie
Fonctions croissantes et décroissantes
Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\subset D_{f}\).
-
\(f\) est croissante sur \(I\) si pour tous \(x_{1},x_{2}\in I\) :
\[x_{1}\leq x_{2}\ \Rightarrow\ f(x_{1})\leq f(x_{2}).\] -
\(f\) est décroissante sur \(I\) si pour tous \(x_{1},x_{2}\in I\) :
\[x_{1}\leq x_{2}\ \Rightarrow\ f(x_{1})\geq f(x_{2}).\] -
\(f\) est strictement croissante (resp. strictement décroissante) si les inégalités sont strictes.
-
\(f\) est constante sur \(I\) si \(f(x_{1})=f(x_{2})\) pour tous \(x_{1},x_{2}\in I\).
-
\(f\) est monotone sur \(I\) si elle est croissante ou décroissante sur \(I\).
Propriété
Méthode du taux d’accroissement.
Soient \(x_{1},x_{2}\in I\) avec \(x_{1}\neq x_{2}\). On pose :
\[T(x_{1},x_{2})=\dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}.\]
-
Si \(T(x_{1},x_{2})>0\) pour tous \(x_{1},x_{2}\in I\) avec \(x_{1}\neq x_{2}\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
-
Si \(T(x_{1},x_{2})<0\) pour tous \(x_{1},x_{2}\in I\) avec \(x_{1}\neq x_{2}\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
Exemple
Étudier les variations de \(f(x)=x^{2}\) sur \(\mathbb{R}\).
Pour \(x_1\neq x_2\), calculer \(T(x_1,x_2)\) puis étudier son signe sur \(]-\infty;0]\) et sur \([0;+\infty[\).
Tableau de variation
Remarque
On résume les variations d’une fonction dans un tableau de variation.
À partir de l’étude précédente, dresser celui de \(f(x)=x^{2}\) sur \(\mathbb{R}\) en
indiquant les intervalles de monotonie et la valeur minimale.
Exercice n°5
-
Soit \(f(x)=3x-4\). Calculer le taux d’accroissement \(T(x_{1},x_{2})\) de \(f\), puis en déduire son sens de variation sur \(\mathbb{R}\).
-
Soit \(g(x)=-x^{2}\). Calculer le taux d’accroissement de \(g\) sur \([0\,;+\infty[\).
-
En déduire le sens de variation de \(g\) sur \([0\,;+\infty[\).
Extremums
Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(x_{0}\in I\).
-
\(f(x_{0})\) est un maximum de \(f\) sur \(I\) si pour tout \(x\in I\) : \(f(x)\leq f(x_{0})\).
-
\(f(x_{0})\) est un minimum de \(f\) sur \(I\) si pour tout \(x\in I\) : \(f(x)\geq f(x_{0})\).
On parle d’extremum pour désigner un maximum ou un minimum.
Exemple
Soit \(f(x)=x^{2}\) sur \(\mathbb{R}\). Déterminer son extremum, préciser où il est atteint et justifier la réponse par une inégalité.
Exercice n°6
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-x^{2}+6x-5\).
-
Vérifier que \(f(x)=-(x-3)^{2}+4\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
-
En déduire que \(f\) admet un maximum sur \(\mathbb{R}\).
-
Préciser ce maximum et la valeur de \(x\) en laquelle il est atteint.
Comparaison de fonctions et position relative de courbes
Définition
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un intervalle \(I\).
-
\(f\leq g\) sur \(I\) si pour tout \(x\in I\) : \(f(x)\leq g(x)\).
-
\(f<g\) sur \(I\) si pour tout \(x\in I\) : \(f(x)<g(x)\).
Propriété
Soient \(\mathcal{C}_{f}\) et \(\mathcal{C}_{g}\) les courbes représentatives respectives de \(f\) et \(g\) sur \(I\).
-
Si \(f\leq g\) sur \(I\), alors \(\mathcal{C}_{f}\) est en dessous de \(\mathcal{C}_{g}\) sur \(I\).
-
Si \(f=g\) en \(x_{0}\), les courbes se coupent au point d’abscisse \(x_{0}\).
Remarque
Méthode : pour étudier la position relative de \(\mathcal{C}_{f}\) et \(\mathcal{C}_{g}\), on étudie le signe de \(f(x)-g(x)\) sur \(I\).
Exemple
Comparer \(f(x)=x^{2}\) et \(g(x)=x\) sur \(\mathbb{R}\).
-
Factoriser \(f(x)-g(x)\) puis étudier son signe.
-
Préciser la position relative de \(\mathcal C_f\) et \(\mathcal C_g\).
-
Déterminer les points d’intersection des deux courbes.
Exercice n°7
Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^{2}\) et \(g(x)=2x-1\).
-
Étudier le signe de \(f(x)-g(x)\).
-
En déduire la position relative de \(\mathcal{C}_{f}\) et \(\mathcal{C}_{g}\).
-
Préciser leur point commun.
Fonctions de référence
Propriété
Variations des fonctions usuelles :
-
\(f(x)=ax+b\) (affine, \(a\neq 0\)) : strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) si \(a>0\), strictement décroissante si \(a<0\).
-
\(f(x)=ax^{2}\), avec \(a\neq0\) : paire, de courbe une parabole de sommet \(O\). Si \(a>0\), elle décroît puis croît ; si \(a<0\), elle croît puis décroît.
-
\(f(x)=x^{3}\) : strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Fonction impaire.
-
\(f(x)=\dfrac{a}{x}\), avec \(a\neq0\) : impaire, de courbe une hyperbole de centre \(O\). Elle est décroissante sur chacun des deux intervalles de définition si \(a>0\), et croissante si \(a<0\).
-
\(f(x)=\sqrt{x}\) : strictement croissante sur \([0;+\infty[\).
-
\(f(x)=|x|\) : décroissante sur \(]-\infty;0]\), croissante sur \([0;+\infty[\). Fonction paire.
-
\(f(x)=\cos x\) est paire et \(g(x)=\sin x\) est impaire. Elles sont périodiques de période \(2\pi\) et prennent leurs valeurs dans \([-1,1]\).
Exemple
Donner le sens de variation de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle indiqué :
-
\(f(x)=-3x+2\) sur \(\mathbb{R}\) ;
-
\(g(x)=x^{2}\) sur \([0\,;+\infty[\) ;
-
\(h(x)=\dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\) ;
-
\(k(x)=\sqrt{x}\) sur \([0\,;+\infty[\).
Exercice n°8
-
Étudier les variations de la fonction \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) sur \(]0;+\infty[\) en utilisant le taux d’accroissement.
-
En déduire les variations sur \(]-\infty;0[\) en utilisant l’imparité.
Exercice n°9
Soit \(f(x)=x^{2}-4x+3\).
-
Vérifier que \(f(x)=(x-2)^{2}-1\).
-
En déduire le sens de variation de \(f\) sur \(]-\infty;2]\) et sur \([2;+\infty[\).
-
Donner le tableau de variation de \(f\).
-
Préciser le minimum de \(f\).
Fonctions quadratiques et homographiques
Fonction quadratique
Définition
Une fonction quadratique est une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x)=ax^2+bx+c,\]
où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels et \(a\neq0\).
En posant
\[\alpha=-\frac{b}{2a},\qquad \beta=f(\alpha),\]
on obtient la forme canonique
\[f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta.\]
Propriété
La courbe d’une fonction quadratique est une parabole de sommet
\(S(\alpha\,;\beta)\) et d’axe de symétrie \(x=\alpha\).
-
Si \(a>0\), \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;\alpha]\), croissante sur \([\alpha;+\infty[\) et admet le minimum \(\beta\).
-
Si \(a<0\), \(f\) est croissante sur \(]-\infty;\alpha]\), décroissante sur \([\alpha;+\infty[\) et admet le maximum \(\beta\).
Pour tracer la parabole, on place le sommet, l’axe de symétrie et plusieurs couples de points symétriques.
Exemple
Soit \(f(x)=-2x^2+4x+1\).
-
Écrire \(f\) sous forme canonique.
-
Déterminer le sommet, l’axe de symétrie et l’extremum de sa courbe.
Exercice n°10
Soit \(f(x)=2x^2-8x+5\).
-
Écrire \(f\) sous forme canonique.
-
Déterminer son sommet, son axe de symétrie et son minimum.
-
Dresser son tableau de variations et construire sa courbe à l’aide de cinq points.
Fonction homographique
Définition
Une fonction homographique est une fonction de la forme
\(h(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\), où \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\), \(c\neq0\) et \(ad-bc\neq0\).
Son domaine est \(D_h=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac dc\right\}\).
Elle peut s’écrire sous la forme réduite
\[h(x)=q+\frac{\lambda}{x-r}, \qquad q=\frac ac,\quad r=-\frac dc,\quad \lambda=\frac{bc-ad}{c^2}.\]
Propriété
La courbe de \(h(x)=q+\dfrac{\lambda}{x-r}\) est une hyperbole de centre
\(\Omega(r\,;q)\) et d’asymptotes \(x=r\) et \(y=q\).
Sur chacun des intervalles \(]-\infty;r[\) et \(]r;+\infty[\), la fonction est décroissante si \(\lambda>0\) et croissante si \(\lambda<0\).
Pour la tracer sans changement de repère, on trace les asymptotes, on place le centre puis plusieurs points de chaque branche.
Exemple
La figure représente la fonction \(h(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}\).
-
Lire les asymptotes et le centre de la courbe.
-
Déterminer graphiquement les variations de \(h\).
-
Écrire \(h\) sous forme réduite et retrouver ces résultats.
Exercice n°11
Soit \(h(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}\).
-
Déterminer \(D_h\) et écrire \(h\) sous forme réduite.
-
Déterminer le centre et les asymptotes de sa courbe.
-
Étudier ses variations et construire sa courbe sans changement de repère.
À retenir
Propriété
L’étude d’une fonction commence par son domaine, puis mobilise les images, les antécédents, la parité, les variations et les extremums.
Le graphique permet de résoudre des équations et des inéquations et de comparer deux fonctions.
Une fonction quadratique se trace à partir de son sommet et de son axe de symétrie ; une fonction homographique se trace à partir de sa forme réduite, de son centre, de ses asymptotes et de quelques points.