Série d’exercices

Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :

1. \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x^{2}-9}\)

2. \(g(x)=\sqrt{x^{2}-4}\)

3. \(h(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-3}}\)

4. \(k(x)=\sqrt{x+2}+\dfrac{1}{x-5}\)

5. \(\ell(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}+1}\)

Soit \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\).

1. Déterminer \(D_{f}\).

2. Calculer \(f(0)\), \(f(2)\), \(f(-3)\).

3. Déterminer l’antécédent de \(3\) par \(f\).

4. Le point \(A(4\,;3)\) appartient-il à \(\mathcal{C}_{f}\) ? Et \(B(2\,;5)\) ?

Étudier la parité des fonctions suivantes :

1. \(f(x)=x^{4}-3x^{2}+1\)

2. \(g(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}\)

3. \(h(x)=\dfrac{x^{2}+1}{|x|}\)

4. \(k(x)=x^{3}+x\)

5. \(\ell(x)=\sqrt{x^{2}+1}+x\)

Soient \(f\) et \(g\) définies par :
\[f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}\qquad\text{et}\qquad g(x)=x+2.\]

1. Déterminer \(D_{f}\) et \(D_{g}\).

2. Simplifier \(f(x)\) pour \(x\in D_{f}\).

3. Les fonctions \(f\) et \(g\) sont-elles égales ? Justifier.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=|x-2|+1\).

1. Montrer que \(f(x)\geq 1\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

2. En déduire que \(f\) admet un minimum sur \(\mathbb{R}\) ; préciser sa valeur et le réel en lequel il est atteint.

3. Étudier le sens de variation de \(f\) sur \(]-\infty\,;2]\), puis sur \([2\,;+\infty[\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^{3}\).

1. Pour tous réels \(x_{1}\neq x_{2}\), on pose
   \(T(x_{1},x_{2})=\dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}\).
   Montrer que \(T(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\).

2. Montrer que \(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=\left(x_{1}+\dfrac{x_{2}}{2}\right)^{2}+\dfrac{3x_{2}^{2}}{4}\),
   puis que ce nombre est strictement positif dès que \((x_{1},x_{2})\neq(0,0)\).

3. En déduire le sens de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Soient \(f(x)=x^{2}+1\) et \(g(x)=2x\).

1. Calculer \(f(x)-g(x)\) et étudier son signe.

2. En déduire la position relative des courbes \(\mathcal{C}_{f}\) et \(\mathcal{C}_{g}\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]-\infty\,;-1[\cup]-1\,;+\infty[\) par :
\[f(x)=\dfrac{2x+3}{x+1}.\]

1. Montrer que pour tout \(x\in D_{f}\) : \(f(x)=2+\dfrac{1}{x+1}\).

2. Soient \(x_{1},x_{2}\in ]-1\,;+\infty[\) avec \(x_{1}<x_{2}\). Calculer \(f(x_{1})-f(x_{2})\) et en déduire son signe.

3. En déduire le sens de variation de \(f\) sur \(]-1\,;+\infty[\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\sqrt{x^{2}+1}-|x|\).

1. Justifier que \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\).

2. Étudier la parité de \(f\).

3. Montrer que pour tout \(x\geq 0\) : \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\).

4. En déduire le sens de variation de \(f\) sur \([0\,;+\infty[\).

Les courbes ci dessous représentent les fonctions
\(f(x)=-(x-1)^2+4\) et \(g(x)=x+1\).

1. Lire \(f(0)\) et les antécédents de \(3\) par \(f\).

2. Résoudre graphiquement \(f(x)=0\) puis \(f(x)\geq3\).

3. Résoudre graphiquement \(f(x)=g(x)\).

4. Déterminer les intervalles sur lesquels \(f(x)\leq g(x)\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x)=-2x^2+8x-5.\]

1. Vérifier que \(f(x)=-2(x-2)^2+3\).

2. Déterminer le sommet et l’axe de symétrie de \(\mathcal C_f\).

3. Dresser le tableau de variations de \(f\) et préciser son extremum.

4. Calculer \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\) et \(f(4)\), puis construire \(\mathcal C_f\).

Soit \(h\) la fonction définie par
\[h(x)=\frac{2x-1}{x+1}.\]

1. Déterminer \(D_h\) et vérifier que \(h(x)=2-\dfrac3{x+1}\).

2. Déterminer le centre et les asymptotes de \(\mathcal C_h\).

3. Étudier les variations de \(h\) sur chacun des intervalles de son domaine.

4. Calculer \(h(-4)\), \(h(-2)\), \(h(0)\) et \(h(2)\), puis construire \(\mathcal C_h\) sans changement de repère.

5. Résoudre graphiquement \(h(x)=0\) puis \(h(x)\leq1\).