Série d’exercices

Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs non nuls. Calculer
\(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\) dans chacun des cas suivants.

1. \(\|\overrightarrow{u}\|=\sqrt3\), \(\|\overrightarrow{v}\|=4\) et
   \(\widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}=\dfrac{\pi}{6}\).

2. \(\|\overrightarrow{u}\|=3\), \(\|\overrightarrow{v}\|=2\) et
   \(\widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}=\dfrac{2\pi}{3}\).

3. \(\|\overrightarrow{u}\|=2\sqrt2\), \(\|\overrightarrow{v}\|=\dfrac12\) et
   \(\widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}=-\dfrac{\pi}{4}\).

4. \(\|\overrightarrow{u}\|=5\), \(\|\overrightarrow{v}\|=7\) et \(\overrightarrow{u}\perp\overrightarrow{v}\).

1. \(ABC\) est équilatéral et \(AB=4\). Calculer
   \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) puis \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CA}\).

2. \(ABC\) est isocèle en \(A\), \(AB=AC=5\) et \(BC=6\). Calculer
   \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) sans déterminer l’angle \(\widehat{BAC}\).

3. Déterminer les mesures possibles de l’angle formé par \(\overrightarrow{u}\) et
   \(\overrightarrow{v}\) lorsque \(\|\overrightarrow{u}\|=4\), \(\|\overrightarrow{v}\|=\sqrt2\) et
   \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=-2\sqrt6\).

Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) tels que \(\|\overrightarrow{u}\|=7\),
\(\|\overrightarrow{v}\|=3\) et \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=-2\).

1. Calculer \(\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|^2\) et \(\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|^2\).

2. En déduire \(\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|\) et \(\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|\).

3. Comparer \(\|\overrightarrow{u}\|+\|\overrightarrow{v}\|\) et \(\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|\).

\(ABCD\) est un trapèze rectangle en \(A\) et \(D\). Le point \(O\) est le milieu de
\([AD]\). On pose \(AB=a\), \(DC=b\) et \(AD=c\).

1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD}\).

2. En utilisant \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DC}\) et
   \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}\), calculer \(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}\).

3. Déterminer une condition sur \(a\), \(b\) et \(c\) pour que \((OB)\perp(OC)\).

1. \(ABC\) est un triangle tel que \(AB=3\), \(AC=5\) et
   \(\widehat A=\dfrac{\pi}{4}\). Calculer \(BC\).

2. \(MNP\) est un triangle tel que \(MN=\sqrt3\), \(NP=2\) et
   \(\widehat N=\dfrac{5\pi}{6}\). Calculer \(MP\).

3. \(RST\) est un triangle tel que \(RS=6\), \(RT=4\) et \(ST=5\).
   Calculer \(\cos\widehat R\), puis préciser la nature de cet angle.

\(ABC\) est un triangle tel que \(AB=6\), \(AC=5\) et \(BC=7\).

1. Utiliser le théorème d’Al Kashi pour calculer \(\cos\widehat A\).

2. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).

3. Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\). Calculer \(BH\).

4. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).

\(ABC\) est un triangle et \(I\), \(J\) et \(K\) sont les milieux respectifs de
\([AB]\), \([AC]\) et \([BC]\). On donne \(AB=4\), \(AC=5\) et \(BC=7\).

1. Calculer les longueurs \(CI\), \(BJ\) et \(AK\) à l’aide du théorème de la médiane.

2. Calculer \(\overrightarrow{CI}\cdot\overrightarrow{AB}\).

3. Calculer \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\) de deux manières.

\(A\) et \(B\) sont deux points tels que \(AB=4\). On note \(I\) le milieu de \([AB]\).
Déterminer et construire, lorsqu’il existe, l’ensemble des points \(M\) dans
chacun des cas suivants.

1. \(MA^2+MB^2=16\).

2. \(MA^2+MB^2=8\).

3. \(MA^2-MB^2=0\).

4. \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\).

5. \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=5\).

\(ABC\) est rectangle en \(A\) et \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur
\([BC]\). On donne \(BH=16\) et \(CH=9\).

1. Calculer \(BC\).

2. Calculer \(AB\), \(AC\) et \(AH\) à l’aide des relations métriques.

3. Vérifier l’égalité de Pythagore.

4. Si \(I\) est le milieu de \([BC]\), calculer \(AI\).

Dans un triangle \(ABC\), on désigne par \(H\) le pied de la hauteur issue de \(A\).
On pose \(AH=h\), \(BC=a\), \(CA=b\) et \(AB=c\).

1. Montrer que \(c\sin\widehat B=b\sin\widehat C\).

2. En déduire que
   \[\frac{a}{\sin\widehat A}=\frac{b}{\sin\widehat B} =\frac{c}{\sin\widehat C}.\]

3. Montrer que l’aire du triangle vaut
   \(\dfrac12bc\sin\widehat A\).

4. Appliquer ces résultats lorsque \(b=6\), \(c=8\) et
   \(\widehat A=\dfrac{\pi}{3}\).