Devoir surveillé — Semestre 1 (C)

Soit la suite définie par : [formule de récurrence manquante dans la source] et [valeur initiale manquante dans la source].

On pose [définition de la suite auxiliaire manquante dans la source] pour tout \(n\) de [ensemble manquant dans la source].

1. Démontrer que la suite [suite manquante dans la source] est géométrique de raison [raison manquante dans la source]. (1,75 pt)

2. Calculer [terme manquant dans la source], puis calculer [terme manquant dans la source] en fonction de [variable manquante dans la source]. (1,25 pt)

3. Calculer [terme manquant dans la source] en fonction de [variable manquante dans la source], puis calculer [limite manquante dans la source]. (2 pts)

4. Calculer la somme [somme manquante dans la source]. (2 pts)

Soient \(\left(V_{n}\right)\) et \(\left(U_{n}\right)\) deux suites définies par :
\[V_{n}=\frac{2}{2U_{n}-3} \qquad;\qquad \begin{cases} U_{0}=3 \\[4pt] U_{n+1}=3-\dfrac{9}{4U_{n}} & (\forall\, n\in\mathbb{N}) \end{cases}\]

1. Démontrer que \((\forall\, n\in\mathbb{N})\;\; U_{n}>\dfrac{3}{2}\). (1,5 pt)

2. Démontrer que la suite \(\left(U_{n}\right)\) est décroissante. (1,5 pt)

3. Déduire que la suite \((U_{n})\) est convergente. (0,5 pt)

4. Démontrer que la suite \(\left(V_{n}\right)\) est arithmétique de raison \(\dfrac{2}{3}\). (1,5 pt)

5. Déterminer \(V_{n}\) puis \(U_{n}\) en fonction de \(n\), et en déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} U_{n}\). (3 pts)

I. On considère la fonction \(f\) définie par [expression manquante dans la source].

1. Déterminer les nombres réels \(a\), \(b\) et \(c\) pour que [condition manquante dans la source]. (1 pt)

2. En déduire les fonctions primitives de la fonction \(f\). (1 pt)

3. Déterminer la fonction primitive \(F\) de la fonction \(f\) qui vérifie la condition [condition manquante dans la source]. (1 pt)

II. Déterminer les fonctions primitives des fonctions suivantes : (2 pts)

1) [fonction manquante dans la source] ; 2) [fonction manquante dans la source].