Devoir surveillé n°1 — Semestre 1 (B)

Les questions sont indépendantes.

Question 1. Simplifier le nombre suivant : (0,5 pt)
\[A=\frac{\sqrt[4]{4}\times \sqrt{8}\times \bigl(\sqrt[3]{4}\bigr)^{2}}{\sqrt[3]{2^{5}}}\]

Question 2. Calculer la dérivée des fonctions suivantes : (1,5 pt)
\[f(x)=\sqrt[3]{x^{3}-x}+x \qquad;\qquad g(x)=\cos\!\bigl(\sqrt[3]{x^{3}-x+1}\bigr)\]

Question 3. Calculer les limites suivantes : (3 pts)
\[\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\sqrt[3]{x^{3}+4x^{2}-1}-5x\Bigr) \qquad;\qquad \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1} \qquad;\qquad \lim_{\substack{x\to 4\\x>4}}\frac{\sqrt[3]{x-4}}{x-4}\]

Question 4. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : (1 pt)
\[f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt[3]{x+8}-2}{x}, & x\neq 0 \\[8pt] a, & x=0 \end{cases}\]
Déterminer la valeur de \(a\) pour que \(f\) soit continue en \(0\).

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[g(x)=-2x^{3}-2x+3\]

1. Étudier les variations de \(g\) sur \(\mathbb{R}\). (0,5 pt)

2. Démontrer que l’équation \(g(x)=0\) admet une seule solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\). (1,5 pt)

3. Vérifier que \(0<\alpha<1\), puis déduire un encadrement de \(\alpha\) à amplitude \(0{,}25\). (2 pts)

4. Vérifier que :
\[\alpha^{3}=\frac{3-2\alpha}{2}\]

5.

1. Démontrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer. (1 pt)

2. Démontrer que \(\displaystyle \bigl(g^{-1}\bigr)'(0)=-\frac{1}{6\alpha^{2}+2}\). (1 pt)

Soit \(f\) la fonction définie par :
\[f(x)=\sqrt{x^{2}+x-2}\]

1. Démontrer que \(D_{f}=]-\infty\,;\,-2]\cup[1\,;\,+\infty[\). (0,5 pt)

2. Démontrer que \(f\) est continue sur les deux intervalles \(]-\infty\,;\,-2]\) et \([1\,;\,+\infty[\). (0,5 pt)

3. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(1\) et à gauche en \(-2\), et interpréter géométriquement les deux résultats obtenus. (2 pts)

4.

1. Démontrer que \(\displaystyle \Bigl(\forall\, x\in D_{f}\setminus\{-2\,;\,1\}\Bigr)\;;\quad f'(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x-2}}\). (1 pt)

2. Donner le tableau de variations de \(f\) sur \(D_{f}\). (1 pt)

5. Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur \(]1\,;\,+\infty[\).

1. Démontrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer. (1 pt)

2. Donner le tableau de variations de \(g^{-1}\). (0,5 pt)

3. Résoudre dans \(]1\,;\,+\infty[\) l’équation \(g^{-1}(x)=g(x)\). (0,5 pt)

4. Déterminer l’expression de \(g^{-1}(x)\) pour tout \(x\) de \(J\). (1 pt)