Devoir surveillé n°1 — Semestre 1 (A)

Les questions sont indépendantes.

Question 1. Simplifier le nombre suivant :
\[A=\frac{\sqrt{9}\times \sqrt[4]{3}\times \bigl(\sqrt[3]{3}\bigr)^{2}}{\sqrt[3]{\sqrt{3}^{5}}}\]

Question 2. Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
\[f(x)=\sqrt[3]{x^{3}+2x} \qquad;\qquad g(x)=\sin(x^{2}+4x)\]

Question 3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation :
\[\sqrt[3]{(x-8)^{2}}-3\,\sqrt[3]{x-8}=0\]

Question 4. Calculer les limites suivantes :
\[\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\sqrt[3]{8x^{3}+1}-4x\Bigr) \qquad;\qquad \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{x+25}-3}{x-3} \qquad;\qquad \lim_{x\to 2}\frac{x^{3}-8}{x-2}\]

Question 5. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt[3]{2x-1}-1}{x}, & x\neq 0 \\[8pt] a, & x=0 \end{cases}\]
Déterminer la valeur de \(a\) pour que \(f\) soit continue en \(0\).

On considère la fonction \(f\) définie sur \(I=[3\,;+\infty[\) par :
\[f(x)=x-4+\sqrt{x-3}\]

Première partie : Dérivabilité

1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}} f(x)\).

2.

1. Montrer que pour tout \(x_{1}\) et \(x_{2}\) de \(I\) on a : \(x_{1}<x_{2}\;\Rightarrow\; f(x_{1})<f(x_{2})\).

2. En déduire la monotonie de \(f\) sur \(I\) puis dresser son tableau de variations.

3.

1. Vérifier que :
   \[\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=1+\frac{1}{\sqrt{x-3}}\]

2. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(3\), puis interpréter graphiquement le résultat.

4. Montrer que pour tout \(x\) de \([3\,;+\infty[\) on a :
\[f'(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{x-3}}\]

5. Donner l’équation de la tangente à \((C_{f})\) au point d’abscisse \(x_{0}=4\).

Deuxième partie : T.V.I

6. Montrer que la fonction \(f\) est continue sur \(I\).

7. Montrer que : \(\exists\,!\,\alpha\in\,]3\,;\,4[\;,\;\; f(\alpha)=0\).

8. Dresser le tableau de signe de \(f(x)\) sur \(I\).

9. Donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(0{,}5\).

Troisième partie : Fonction réciproque

10. Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.

11. Comparer \(f^{-1}(2025)\) et \(f^{-1}(2026)\).

12. Calculer \(f(4)\), puis montrer que \(f^{-1}\) est dérivable en \(1\) et déterminer \(\bigl(f^{-1}\bigr)'(1)\).

13.

1. Vérifier que : \(\displaystyle \Bigl(\forall\, x\in I\Bigr)\;,\;\; f(x)=\left(\sqrt{x-3}+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{5}{4}\).

2. Déterminer l’expression de \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\in J\).