Devoir surveillé n°1 — Semestre 1, 2023 (B)

Les questions sont indépendantes.

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations :

1. \(\displaystyle \sqrt{4x-1}+\frac{12}{\sqrt{4(x-1)}}+7=0\)

2. \(\displaystyle \sqrt[3]{(2-x)^{2}}+\sqrt[3]{(x+2)^{2}}=2\,\sqrt[3]{4-x^{2}}\)

(2 pts)

2. Calculer les limites suivantes :
\[\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x+8}-4-\sin x}{x} \qquad;\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x}-3\sqrt{x}\right)\]
(1,5 pt)

3. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}+2x-a}{x-2}, & x<2 \\[8pt] \dfrac{2x^{2}+b-a}{x}, & x\geq 2 \end{cases}\]
Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(f\) soit continue en \(2\).
(1,5 pt)

Soit \(f\) la fonction définie par :
\[f(x)=\frac{x}{2}\left(x+\sqrt{x^{2}+5}\right)\]

1. Déterminer \(D_{f}\) puis calculer les limites aux bornes de \(D_{f}\). (1,5 pt)

2. Étudier la continuité de \(f\) sur \(D_{f}\). (0,5 pt)

3.

1. Montrer que l’équation \((x-2)(x+1)\,f(x)=2x-1\) admet au moins une solution \(\alpha\) sur \(]-1\,;\,2[\). (1,5 pt)

2. En déduire que \(\displaystyle f(\alpha)=\frac{1}{\alpha-2}+\frac{1}{\alpha+1}\). (0,5 pt)

4.

1. Démontrer que \((\forall\, x\in D_{f})\) ; \(\displaystyle f'(x)=\frac{\bigl(x+\sqrt{5+x^{2}}\bigr)^{2}}{2\,\sqrt{x^{2}+5}}\). (1,5 pt)

2. Donner le tableau de variations de \(f\) sur \(D_{f}\). (0,5 pt)

3. En déduire que \(f(x)\) et \(x\) ont même signe sur \(D_{f}\). (0,75 pt)

5. Montrer que l’équation \(f(x)=3\) admet une unique solution \(\beta\) dans \(D_{f}\). (0,5 pt)

6. Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(J\) à déterminer. (0,75 pt)

7. Déterminer \(f^{-1}\bigl([0\,;\,5]\bigr)\). (1 pt)

8. Exprimer \(f^{-1}(x)\) en fonction de \(x\), pour tout \(x\in J\). (1,5 pt)

9. Déterminer la valeur de \(\beta\). (0,5 pt)

10. Dresser le tableau de variations de \(f^{-1}\). (0,5 pt)

11. Simplifier \(\displaystyle\frac{1}{2}\,f^{-1}\!\left(f^{-1}(x)+\bigl(f^{-1}(x)\bigr)^{2}+5\right)\), \(\forall\, x\in J\). (0,5 pt)

12. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(f^{-1}(x)=f(x)\). (1 pt)

13. Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(0<a<b\). Montrer que :
\[1+\frac{5}{1+\dfrac{5}{a^{2}}}<b\]
(1 pt)

14. On considère la fonction \(g\) définie par :
\[g(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{2}\,x\left(x+\sqrt{5+x^{2}}\right), & x>\alpha \\[8pt] \dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x+1}, & x\leq\alpha \end{cases}\]
Montrer que \(g\) est continue en \(\alpha\). (1 pt)