Devoir surveillé n°1 — Semestre 1, 2023 (A)

Les questions sont indépendantes.

1. Soient \(x\) et \(y\) deux réels strictement positifs. Montrer que :
\[\frac{\sqrt[3]{x^{5}}}{\sqrt{y^{5}}}\times\frac{\sqrt[12]{x^{-8}}}{\sqrt[3]{y}}=xy\]

2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les (in)équations :
\[\sqrt{3+x}+\sqrt[3]{(3-x)^{2}}=2\,\sqrt[3]{9-x^{2}} \qquad;\qquad \sqrt[3]{6-7x}\leq 3\]

3. Calculer les limites suivantes :
\[\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{4x^{4}+4x^{2}-1}-x}{1-x} \qquad;\qquad \lim_{x\to 3}\frac{\sqrt[3]{x+5}-\sqrt{x+1}}{x-3} \qquad;\qquad \lim_{x\to 4^{+}}\frac{\sqrt[3]{x-4}}{4-x}\]

4. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt[3]{8-2x}-2}{\tan(3x)}, & x\neq 0 \\[8pt] a, & x=0 \end{cases}\]
Déterminer la valeur de \(a\) pour que \(f\) soit continue en \(0\).

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(x)=-x^{5}-2x^{3}+27\).

1. Étudier les variations de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).

2. Démontrer que l’équation \(g(x)=0\) admet une seule solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\), puis vérifier que \(0<\alpha<2\).

3. Donner le signe de \(g(x)\).

4. Vérifier que \(\displaystyle\frac{3}{\alpha}=\sqrt[3]{\alpha^{2}+2}\).

5. Soit \(h\) la fonction définie par :
\[h(x)= \begin{cases} \dfrac{3}{x}, & x<\alpha \\[8pt] \sqrt[3]{x^{2}+2}, & x\geq\alpha \end{cases}\]
Montrer que \(h\) est continue en \(\alpha\).

Soit \(f\) la fonction définie par : \(f(x)=\sqrt{x^{2}+x-2}\).

1. Déterminer \(D_{f}\) et calculer les limites aux bornes de \(D_{f}\).

2. Démontrer que \(f\) est continue sur \(D_{f}\).

3.

1. Démontrer que \((\forall\, x\in D_{f}\setminus\{-2\,;\,1\})\) ; \(\displaystyle f'(x)=\frac{2x+1}{2\,\sqrt{x^{2}+x-2}}\).

2. Donner le tableau de variations de \(f\) sur \(D_{f}\).

4. Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur \(]1\,;\,+\infty[\).

1. Démontrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.

2. Donner le tableau de variations de \(g^{-1}\).

3. Résoudre dans \(]1\,;\,+\infty[\) l’équation \(g^{-1}(x)=g(x)\).

4. Déterminer l’expression de \(g^{-1}(x)\) pour tout \(x\) de \(J\).

5. Calculer \(\sqrt{(g(x)-1)^{2}-g(x)-2}\).

6. Soient \(a\) et \(b\) deux réels de \(]1\,;\,+\infty[\) tels que \(a<b\). Montrer que :
   \[\frac{a+1}{b+1}<\frac{b}{a}\]