Devoir surveillé n°1 — Semestre 1 (2017)

Les questions I, II et III sont indépendantes.

I. Calculer les limites suivantes : (2 pts)
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[3]{x+1}}{\sqrt{x}-\sqrt[6]{x+1}} \qquad;\qquad \lim_{x\to 1}\frac{4\arctan(x)-\pi}{x-1}\]
\[\lim_{x\to-\infty}\Bigl(\sqrt[3]{-x^{3}+x^{2}+1}+x\Bigr) \qquad;\qquad \lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{\tan x-x}\]

II. Démontrer que \(\bigl(\forall\,x\in\mathbb{R}\bigr)\) :
\[\frac{1}{2}\arctan x+\arctan\!\left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)=\frac{\pi}{4}\]
(1 pt)

III. Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \([a\,;b]\) tel que \(f(a)<0\).
Démontrer \(\exists\,\alpha\in\,]a\,;\,b[\;/\; f(\alpha)=\dfrac{a-\alpha}{b-\alpha}\).
(2 pts)

On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\arctan(3x)+2x-1\).

1. Démontrer que \(f\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\).
(1 pt)

2. Démontrer que l’équation \(f^{-1}(x)=x\) admet une solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\)
et que \(0<\alpha<\dfrac{1}{3}\).
(1 pt)

3. Vérifier que \(\alpha=1-\arctan(3\alpha)\) et \(1-\dfrac{\pi}{4}<\alpha<\dfrac{1}{3}\).
(0,5 pt)

4. Démontrer que \(f^{-1}(x)<x\) \(\bigl(\forall\,x\in\,]\alpha\,;+\infty[\bigr)\)
et interpréter géométriquement ce résultat.
(1,5 pt)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x)= \begin{cases} x-1+3\sqrt[3]{1-x}, & x\leq 1 \\[4pt] (x-1)\left(1+\arctan\left(\dfrac{1}{x}\right)\right), & x>1 \end{cases}\]

1.

1. Montrer que la fonction \(f\) est continue en \(1\). (0,75 pt)

2. Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(1\) et interpréter géométriquement ce résultat.
   (0,75 pt)

2.

1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)\).
   (1 pt)

2. Démontrer que la droite d’équation \((\Delta):y=x\) est une asymptote à \((C_{f})\)
   au voisinage de \(+\infty\). (0,25 pt)

3. Étudier la branche infinie à \((C_{f})\) au voisinage de \(-\infty\).
   (1 pt)

3.

1. Étudier les variations de \(f\) sur \(I=\,]-\infty\,;1[\). (1,5 pt)

2. Donner le tableau de variations de \(f'\) sur l’intervalle \(K=[1\,;+\infty[\)
   puis les variations de \(f\) sur \(K\). (1,5 pt)

4. Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur \(J=\,]-\infty\,;0]\).

1. Démontrer que \(g\) est une bijection de \(J\) vers un intervalle \(L\) à déterminer.
   (0,75 pt)

2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(t^{3}-3t-2=0\) puis déterminer \(g^{-1}(-2)\)
   et \(\bigl(g^{-1}\bigr)'(-2)\). (1,25 pt)

3. Construire dans un repère orthonormé les courbes \((C_{f})\) et \(\bigl(C_{g^{-1}}\bigr)\).
   (2 pts)