Devoir surveillé n°1 — Semestre 1 (2019)

Les questions sont indépendantes.

1. Calculer les limites suivantes :
\[\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\sqrt[3]{x^{3}-2}-x\Bigr) \qquad;\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}} \qquad;\qquad \lim_{x\to 0^{+}}x\arctan\!\left(\frac{1}{x\sqrt{x}}\right)\]
(2 pts)

2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
\[(E_{1}):\arctan x+\arctan 2x=\frac{\pi}{4} \qquad;\qquad (E_{2}):2x\sqrt{x}-3x\sqrt[4]{\frac{1}{x}}=20\]
(1,5 pt)

3. Démontrer que \((\forall\,x\in\mathbb{R})\) :
\[\frac{1}{2}\arctan x+\arctan\!\left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)=\frac{\pi}{4}\]
(1 pt)

4. Démontrer que \((\forall\,t\in\mathbb{R}^{+})\) :
\[0\leq t-\arctan t\leq\frac{1}{3}t^{3}\]
puis calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\left(1-x\arctan\frac{1}{x}\right)\).
(1,5 pt)

5. Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \([0\,;1]\) telles que
\((f(0)-g(0))(f(1)-g(1))\leq 0\).
Démontrer que \(\exists\,c\in[0\,;1]\;;\;f(c)=g(c)\).
(1 pt)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{3}\right]\)
par \(f(x)=\tan^{2}x-2\sqrt{3}\tan x\).

1. Démontrer que \(f\) est une bijection de \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{3}\right]\)
vers un intervalle \(J\) à déterminer. (1,5 pt)

2. Déterminer \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\) de \(J\). (1,5 pt)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x)= \begin{cases} x^{2}\arctan(x), & x\geq 0 \\[4pt] x-\sqrt[3]{x^{2}-x}, & x\leq 0 \end{cases}\]
et \((C_{f})\) sa représentation graphique dans un repère orthonormé
\(\bigl(O\,;\vec{\imath}\,;\vec{\jmath}\bigr)\).

1.

1. Démontrer que \(f\) est continue en \(x_{0}=0\). (0,5 pt)

2. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite et à gauche en \(0\).
   (1 pt)

3. Étudier les branches infinies à \((C_{f})\). (2 pts)

2. Étudier les variations de \(f\). (2 pts)

3.

1. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^{+}\) par \(g(x)=x\arctan x-1\).
   Étudier les variations de \(g\). (0,5 pt)

2. Déduire qu’il existe un unique réel \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}^{+}\) tel que
   \(f(\alpha)=\alpha\) et que \(1<\alpha<\sqrt{3}\). (1,5 pt)

3. Étudier la position relative de \((C_{f})\) et la droite \((\Delta)\) d’équation
   \(y=x\) sur \(\mathbb{R}^{+}\). (0,5 pt)

4. Construire \((C_{f})\) dans le repère orthonormé
\(\bigl(O\,;\vec{\imath}\,;\vec{\jmath}\bigr)\). (1,5 pt)

5.

1. Démontrer que la fonction \(f'\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}^{+}\).
   (1 pt)

2. Démontrer qu’il existe un unique réel \(a\) sur \(]0\,;\alpha[\) tel que \(f'(a)=\dfrac{1}{2}\).
   (1 pt)

3. Déduire que \(\forall\,x\in\,]0\,;a[\) : \(0<f'(x)<\dfrac{1}{2}\).
   (0,5 pt)