Devoir surveillé n°2 — Semestre 1 (2017)

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(0<b\leq a\).

Soit \((u_{n})\) et \((v_{n})\) deux suites définies par :
\[\begin{cases} u_{0}=a \\[4pt] u_{n+1}=\dfrac{u_{n}+v_{n}}{2} \end{cases} \qquad\text{et}\qquad \begin{cases} v_{0}=b \\[4pt] v_{n+1}=\dfrac{2u_{n}v_{n}}{u_{n}+v_{n}} \end{cases} \qquad\forall\,n\in\mathbb{N}^{*}\]

1. Démontrer que \(\forall\,n\in\mathbb{N}\) :
\(0<v_{n}\) et \(0<u_{n}\) et \(0<v_{n}\leq u_{n}\).
(1 pt)

2.

1. Démontrer que la suite \((u_{n})\) est décroissante et la suite \((v_{n})\) est croissante.
   (2 pts)

2. Démontrer que pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) on a
   \(u_{n+1}-v_{n+1}\leq\dfrac{u_{n}-v_{n}}{2}\). (1 pt)

3. Démontrer que \(u_{n}-v_{n}\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}(u_{0}-v_{0})\).
   (0,75 pt)

4. En déduire la limite de \(u_{n}-v_{n}\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
   (0,75 pt)

5. Que peut-on déduire pour les suites \((u_{n})\) et \((v_{n})\) ?
   (0,75 pt)

3. Soit \((w_{n})\) la suite définie par \(w_{n}=u_{n}\times v_{n}\).

1. Démontrer que la suite \((w_{n})\) est constante. (0,75 pt)

2. Déduire la limite de \((u_{n})\) et \((v_{n})\). (1 pt)

Soit \((w_{n})\) la suite définie par \(w_{n}=\dfrac{n!}{3^{n}}\), \(\forall\,n\in\mathbb{N}^{*}\).

1. Montrer que \(\dfrac{w_{n+1}}{w_{n}}\geq\dfrac{3}{4}\), \(\forall\,n\geq 3\).
(1 pt)

2. En déduire \(w_{n}\geq\left(\dfrac{4}{3}\right)^{n-3}\times w_{3}\), \(\forall\,n\geq 3\).
(0,5 pt)

3. Déterminer la limite de la suite \((w_{n})\).
(0,5 pt)

Soit \((u_{n})\) la suite définie par
\(u_{n}=1-\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dots+\dfrac{(-1)^{n}}{n!}\)
et on définit les suites \((v_{n})\) et \((w_{n})\) par : \(v_{n}=u_{2n}\) et \(w_{n}=u_{2n+1}\).
Montrer que les suites \((v_{n})\) et \((w_{n})\) sont adjacentes.

Les questions I et II sont indépendantes.

I. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x\sin x\).

1. Montrer que \(f(x)=2\cos x-f''(x)\). (1 pt)

2. En déduire la fonction primitive de \(f\) qui s’annule en \(\pi\).
(2 pts)

II. Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par
\(f(x)=\cos x\cos 3x\) et \(g(x)=\sin x\sin 3x\).

1. Déterminer une fonction primitive sur \(\mathbb{R}\) de chacune des fonctions
\(f+g\) et \(f-g\). (2 pts)

2. Déduire les fonctions primitives sur \(\mathbb{R}\) des fonctions \(f\) et \(g\).
(2 pts)