Devoir surveillé n°1 — Semestre 1 (2023)

Les questions sont indépendantes.

1. Calculer les limites suivantes :
\[\lim_{x\to 1}\frac{x^{2023}-2023x+2022}{x-1} \qquad;\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}-\sqrt[6]{x+1}}\]
(1,5 pt)

2. Soient \(a\) un réel et \(n\in\mathbb{N}\). Montrer que
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^{n}(ax)}{x^{2}}=\frac{na^{2}}{2}\)
et déduire
\[\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^{20}(2x)\cos^{21}(3x)\cos^{22}(4x)}{x^{2}}.\]
(1,5 pt)

3. Soit \(x>0\). Montrer que \(\arctan(x)+\arctan\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{\pi}{2}\)
et calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\arctan\!\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right)-\frac{\pi}{2}x\).
(2 pts)

4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
\[(E_{1}):\arctan x+\arctan 2x=\frac{\pi}{4} \qquad;\qquad (E_{2}):\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{2x-3}=\sqrt[3]{12x-12}\]
(2 pts)

5. Démontrer que \((\forall\,x\in\mathbb{R})\) :
\[\frac{1}{2}\arctan x+\arctan\!\left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)=\frac{\pi}{4}\]
(1 pt)

6. Démontrer que \((\forall\,a,b\in\,]-1\,;1[)\) :
\[\arctan(a)+\arctan(b)=\arctan\!\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)\]
et déduire la valeur de \(\displaystyle\sum_{p=1}^{n}\arctan\!\left(\frac{1}{2p^{2}}\right)\)
et \(\displaystyle\sum_{p=1}^{n}\arctan\!\left(\frac{1}{p^{2}+3p+3}\right)\) avec \(n\in\mathbb{N}^{*}\).
(3 pts)

7. \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \([0\,;1]\) telles que :
\(g(0)=f(1)=1\) et \(f(0)=g(1)=0\).
Démontrer que : \(\exists\,c\in\,]0\,;1[\;;\;f(c)=2023\,g(c)\).
(1 pt)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[2\pi\,;\dfrac{7\pi}{3}\right]\)
par \(f(x)=\tan^{2}x-2\sqrt{3}\tan x\).

1. Démontrer que \(f\) est une bijection de \(\left[2\pi\,;\dfrac{7\pi}{3}\right]\)
vers un intervalle \(J\) à déterminer. (1,5 pt)

2. Déterminer \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\) de \(J\). (1,5 pt)

1. Calculer les limites suivantes :
\[\lim\sum_{k=0}^{2n+1}\frac{1}{\sqrt{n^{2}+k}} \qquad;\qquad \lim\underbrace{\sqrt{2\sqrt{2\dots\sqrt{2}}}}_{n\text{ fois}}\]
(2 pts)

2. Soit \(\theta\) un élément de \(\left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\),
on considère les suites \((u_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) et \((v_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) définies par :
\[u_{n}=2^{n}\sin\left(\frac{\theta}{2^{n}}\right) \qquad\text{et}\qquad v_{n}=2^{n}\tan\left(\frac{\theta}{2^{n}}\right)\]

1. Démontrer que \((u_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) est croissante et que \((v_{n})_{n\in\mathbb{N}}\)
   est décroissante, et calculer \(\lim(u_{n}-v_{n})\). (2 pts)

2. Démontrer que les suites \((u_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) et \((v_{n})_{n\in\mathbb{N}}\)
   sont adjacentes et déterminer la limite commune \(l\). (1 pt)