Devoir surveillé n°1 — Semestre 1 (2018)

I. Calculer les limites suivantes : (3 pts)
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[3]{x+1}}{\sqrt{x}-\sqrt[6]{x+1}} \qquad;\qquad \lim_{x\to-\infty}\Bigl(\sqrt[3]{-x^{3}+x+1}+x\Bigr) \qquad;\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)}{\sqrt[3]{\dfrac{1+2x}{x^{4}}}}\]

II. Soit \(f\) la fonction définie par : \(f(x)=\sqrt[n]{1-x}-\sqrt[n]{x}\)
tel que \(n\) est un entier naturel : \(n\geq 2\).

1. 1. Déterminer \(D_{f}\). (0,25 pt)

   2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D_{f}\). (0,75 pt)

2. Montrer que : \(\exists\,!\,c\in\left]0\,;\dfrac{1}{2}\right[\;/\; \sqrt[n]{1-c}-\sqrt[n]{c}=c^{n}\). (1 pt)

3. Posons \(n=3\).

   1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(f(x)=\sqrt[3]{1-2x}\).
      (1 pt)

   2. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}}\frac{f(x)}{x-\dfrac{1}{2}}\).
      (1 pt)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x)= \begin{cases} -\sqrt[3]{1-x^{3}}, & x<1 \\[4pt] 2\arctan\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right), & x\geq 1 \end{cases}\]
et soit \((C_{f})\) sa courbe dans un repère orthonormé \(\bigl(O\,;\vec{\imath}\,;\vec{\jmath}\bigr)\).

1.

1. Déterminer \(D_{f}\), puis calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D_{f}\).
   (1,5 pt)

2. Étudier la continuité de \(f\) en \(1\). (1 pt)

2.

1. Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(1\) et interpréter géométriquement ce résultat.
   (1,75 pt)

2. Étudier les variations de \(f\). (2 pts)

3.

1. Démontrer que la fonction \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\)
   définie sur un intervalle \(J\) à déterminer. (0,75 pt)

2. Déterminer \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\) de \(J\). (1,5 pt)

3. Construire \((C_{f})\) et \((\Gamma)\) la courbe de \(f^{-1}\) dans le repère
   \(\bigl(O\,;\vec{\imath}\,;\vec{\jmath}\bigr)\). (1 pt)

I. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\left[\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\)
par : \(f(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x}\).

1. Démontrer que : \(\forall\,x\in\left[\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\),
   \(-2\leq f'(x)\leq 1\). (0,75 pt)

2. Déduire que \(\forall\,a\in\left[\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\),
   \(\left(\dfrac{\pi}{2}-2a\right)\sin a\leq\cos a-\sin a\leq\left(\dfrac{\pi}{4}-a\right)\sin a\).
   (1 pt)

II. Soit \(f\) une fonction définie sur un segment et continue sur \([0\,;1]\)
et dérivable sur \(]0\,;1[\), avec \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\).
Montrer que \((\exists\,c\in\,]0\,;1[):2c\,f'(c)=\sqrt{c}\).
(1,25 pt)