Série d’exercices
Analytique du produit scalaire et applications
Tronc Commun
1ère Bac
Le théorème d'Al Kashi
Pythagore, avec un terme de correction
Le théorème d'Al Kashi généralise Pythagore à tous les triangles. Le carré d'un côté vaut la somme des carrés des deux autres, corrigée d'un terme qui dépend de l'angle. Amenez l'angle à un quart de tour : le cosinus s'annule, le terme correctif disparaît, et Pythagore réapparaît.
Définition
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A} \]
L'essentiel
- Notation
- \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\)
- Angle droit
- \(\widehat{A} = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow a^2 = b^2 + c^2\)
- Angle aigu
- \(\cos\widehat{A} > 0\) donc \(a^2 < b^2 + c^2\)
- Angle obtus
- \(\cos\widehat{A} b^2 + c^2\)
- Avec le produit scalaire
- \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2}\)
Ce qu'il faut retenir
- Le terme \(-2bc\cos\widehat{A}\) est exactement ce qui manque à Pythagore quand l'angle n'est pas droit.
- Le théorème sert dans les deux sens : trouver un côté à partir de deux côtés et l'angle entre eux, ou trouver un angle à partir des trois côtés.
- L'angle utilisé doit être celui compris entre les deux côtés dont on prend les carrés. C'est la seule condition à respecter.
- Le signe du cosinus dit immédiatement si le triangle est acutangle ou obtusangle en \(A\), sans calculer l'angle.
Les pièges classiques
- Prendre l'angle qui n'est pas entre les deux côtés cités. La formule devient fausse.
- Écrire \(-2bc\cos\widehat{A}\) avec un plus. Le signe moins fait toute la différence entre aigu et obtus.
- Oublier de passer à l'arccosinus quand on cherche l'angle, et donner \(\cos\widehat{A}\) comme réponse.
- Travailler en degrés dans une calculatrice réglée en radians, ou l'inverse.
Le cours correspondant.
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