Devoir maison n°1 — Semestre 1 (A)

Les questions I, II, III, IV, V et VI sont indépendantes.

I. Soient \(x\) et \(y\) deux nombres strictement positifs. Démontrer que :
\[\frac{x^{5}}{y^{-5}}\times\frac{x^{-8}}{y^{3}}=xy\]
(0,5 pt)

II. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation :
\[\sqrt[3]{(2+x)^{2}}+3\,\sqrt[3]{(2-x)^{2}}=2\,\sqrt[3]{4-x^{2}}\]
(1,5 pt)

III. Calculer les limites suivantes : (0,75 pt)
\[\lim_{x\to 0}\frac{1-\sqrt[3]{x+1}}{\sin x} \qquad;\qquad \lim_{x\to 8}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-4}\]

IV. On considère la fonction \(f\) définie sur \([-1\,;+\infty[\) par :
\[f(x)=\frac{1-x^{3}+x}{x-1}\]

1. Vérifier que \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-1}-x\). (0,75 pt)

2. Démontrer que l’équation \(\displaystyle x=\frac{1}{x-1}\) admet une seule solution \(\alpha\) sur \([1\,;2[\). (1,5 pt)

3. Démontrer que \(\alpha^{2}(\alpha-2)=1-\alpha\). (1 pt)

V. Soit \(f\) la fonction définie par :
\[f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{\tan x}, & x\neq 0 \\[8pt] \dfrac{1}{3}, & x=0 \end{cases}\]
Étudier la continuité de \(f\) en \(0\). (1 pt)

VI. Calculer la dérivée des fonctions suivantes : (2 pts)
\[f(x)=\cos\!\bigl(2017x^{4}+5x^{2}+1\bigr) \qquad;\qquad g(x)=2018^{\,-x^{2}+4x}\]

Soit \(f\) la fonction définie par :\(f(x)=x^{2}-4-x\).

1.

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\). (0,5 pt)

2. Calculer la dérivée \(f'(x)\) et étudier son signe. (1,5 pt)

2. Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(-2\) et en \(2\) ; interpréter géométriquement les résultats obtenus. (2 pts)

3. Déterminer le tableau de variations de \(f\). (1 pt)

4. Étudier les branches infinies de \((C_{f})\) ; puis construire \((C_{f})\). (2 pts)

5. Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur \([2\,;+\infty[\).

1. Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer. (1 pt)

2. Construire \((C_{g})\) et \((C_{g^{-1}})\) dans un même repère orthonormé. (1,5 pt)

6. Calculer \(g^{-1}(-2)\), \(g^{-1}(-1)\) et \((g^{-1})'(-1)\). (0,5 pt)

7. Déterminer l’expression de \(g^{-1}(x)\). (1 pt)