Devoir surveillé n°1 — Semestre 2

1. Écrire sous la forme algébrique le nombre complexe \((1-i)^{2}\). (0,75 pt)

2. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^{2}-2(1+2i)\,z-(3-6i)=0\). (2,25 pt)

3. On considère dans le plan complexe les deux points \(A(3i)\) et \(B(2+i)\). Déterminer puis construire l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|z-3i|=|z-2-i|\). (1 pt)

On considère \(A\), \(B\) et \(C\) trois points d’affixes respectivement \(a=-2\), \(b=2+2i\) et \(c=2-2i\).

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation suivante : \(z^{2}-4z+8=0\). (1 pt)

2. Montrer que \(b^{10}+c^{10}=0\). (1,5 pt)

3. Déterminer la nature du triangle \(ABC\). (1,5 pt)

4. Soit \(r\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\alpha\) telle que \(r(C)=B\). Montrer que :
\[e^{i\alpha}=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}\,i\]
(1,5 pt)

5. Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que : \(|z-2+2i|=|z+2|\). (1,5 pt)

1. Linéariser \(\cos(3x)\times\sin(2x)\). (3 pts)

2. On pose \(z=(3+i)^{2n+1}-(i-3)^{2n+1}\), \(\forall n\in\mathbb{N}\). Montrer que \(z\in\mathbb{R}\). (1 pt)

On considère le nombre complexe \(Z=\dfrac{(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)\,i}{\sqrt{2}}\).

1. Écrire le nombre \(Z^{2}\) sous la forme algébrique. (1 pt)

2.

1. Déterminer le module et l’argument du nombre \(Z^{2}\). (1,5 pt)

2. En déduire le module et l’argument de \(Z\). (1 pt)

3. Déduire la valeur de \(\cos\dfrac{\pi}{12}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}\). (1,5 pt)