Devoir surveillé n°1 — Semestre 2 (2020)

I) Étude de la fonction \(g\)

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=(1-x)\,e^{x}-1\).

1. Étudier les variations de \(g\). (1,5 pt)

2. Déduire le signe de \(g(x)\) sur \(\mathbb{R}\). (0,5 pt)

II) Étude de la fonction \(f\)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(2-x)\,e^{x}-x\) et soit \((C_{f})\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j})\) (unité : \(1\) cm).

3. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\) puis interpréter géométriquement le résultat obtenu. (1,5 pt)

4. Montrer que la droite \((D)\) d’équation \(y=-x\) est une asymptote à \((C_{f})\) au voisinage de \(-\infty\). (0,5 pt)

5. Démontrer que \(\forall x\in\mathbb{R}\), \(f'(x)=g(x)\) et déduire les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). (1,5 pt)

6. Interpréter géométriquement le résultat \(f'(0)=0\). (0,5 pt)

7. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\) et que \(\dfrac{3}{2}\leq\alpha\leq 2\). (1 pt)

8. Étudier la position relative de \((C_{f})\) et \((D)\). (1 pt)

9. Étudier la concavité de \((C_{f})\) et déterminer le point d’inflexion de \((C_{f})\). (1 pt)

10. Construire dans le repère \((O\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j})\) la droite \((D)\) et la courbe \((C_{f})\). (2 pts)

1.

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^{2}-8z+32=0\). (1 pt)

2. Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe \(a=4+4i\) et déduire que \(a^{12}\) est un nombre réel négatif. (1 pt)

2. On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives \(a=4+4i\), \(b=2+3i\), \(c=3+4i\).

1. On considère \(M'(z')\) l’image de \(M(z)\) par la rotation \(\mathcal{R}\!\left(C\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right)\). Démontrer que \(z'=iz+7+i\). (0,75 pt)

2. Vérifier que l’affixe de \(D\), l’image de \(C\) par \(\mathcal{R}\), est \(3+5i\). (0,75 pt)

3. Démontrer que l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|z-3-5i|=|z-4-4i|\) est la droite \((BC)\). (1,5 pt)

Soit \(m\) un nombre complexe de module \(\sqrt{2}\) et d’argument \(\alpha\), et \(z'=\dfrac{1+i}{m}\) et \(z''=\dfrac{1-i}{m}\).

1. Écrire \(z'\), \(z''\) et \(\dfrac{z'}{z''}\) sous forme trigonométrique. (1,5 pt)

2. On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives \(z'\), \(z''\) et \(z'+z''\). Démontrer que \(OACB\) est un carré. (1,5 pt)