Devoir surveillé n°3 — Semestre 2

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé
\(\left(O\,;\,\overrightarrow{i}\,;\,\overrightarrow{j}\,;\,\overrightarrow{k}\right)\),
on considère le plan \((P)\) passant par le point \(A(0\,;\,1\,;\,1)\) et de
vecteur normal \(\overrightarrow{u}(1\,;\,0\,;\,-1)\), et la sphère \((S)\) de
centre \(\Omega(0\,;\,1\,;\,-1)\) et de rayon \(\sqrt{2}\).

1.

1. Montrer que l’équation cartésienne du plan \((P)\) s’écrit sous la forme \(x-z+1=0\). (2 pts)

2. Montrer que le plan \((P)\) est tangent à la sphère \((S)\) et vérifier que le point \(B(-1\,;\,1\,;\,0)\) est le point d’intersection du plan \((P)\) et de la sphère \((S)\). (2 pts)

2.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(A\) et orthogonale au plan \((P)\). (2 pts)

2. Montrer que la droite \((\Delta)\) est tangente à la sphère \((S)\) au point \(C(1\,;\,1\,;\,0)\). (1,5 pt)

3. Montrer que \(\overrightarrow{OC}\wedge\overrightarrow{OB}=2\,\overrightarrow{k}\), puis déduire l’aire du triangle \(OCB\). (2,5 pts)

Dans une boîte se trouvent 14 jetons portant chacun une lettre du nom
« SAHARA MAROCAIN ». Dans une première expérience, on tire simultanément 5
jetons, et on suppose que tous les tirages sont équiprobables.

1. Avec les 5 lettres ainsi tirées, quelle est la probabilité de former :

1. le nom « SMARA » ? (1 pt)

2. le nom « MAROC » ? (1 pt)

2. On considère la variable aléatoire \(X\) qui, à chaque tirage, prend pour valeur le nombre de \(R\) tirés.

1. Déterminer la loi de probabilité de \(X\). (3 pts)

2. Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\), puis \(\sigma(X)\). (3 pts)

3. Dans une seconde expérience, on tire successivement sans remise 5 jetons. Quelle est la probabilité pour que l’on tire dans l’ordre les lettres du nom « SMARA » ? (2 pts)