Devoir surveillé n°2 — Semestre 2 (B)

I)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par
\[f(x)=\frac{x^{4}+3x^{2}+1}{x(x^{2}+1)}.\]

1. Déterminer les nombres réels \(a\), \(b\) et \(c\) pour que l’on ait, pour tout \(x\in\,]0\,;\,+\infty[\),
\[f(x)=ax+\frac{b}{x}+\frac{cx}{x^{2}+1}.\]
(1 pt)

2. Déduire la valeur de \(\displaystyle\int_{1}^{e} f(x)\,dx\). (1 pt)

II)
On pose \(\displaystyle I=\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}x\,dx\), \(\displaystyle J=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{4}x\,dx\) et \(\displaystyle K=\int_{0}^{\pi/2}2\cos^{2}x\,\sin^{2}x\,dx\).

3. Calculer \(I-J\) et \(I+J+K\). (3 pts)

4.

1. Montrer que \((\forall\,x\in\mathbb{R})\), \(\cos^{4}x+\sin^{4}x-6\cos^{2}x\,\sin^{2}x=\cos 4x\). (1 pt)

2. Calculer \(I+J-3K\). (0,5 pt)

3. En déduire la valeur de \(I\), \(J\) et \(K\). (1 pt)

III)

5. En utilisant l’intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :
\[I_{1}=\int_{\sqrt{e}}^{e}\frac{x\ln x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx, \qquad I_{2}=\int_{0}^{1}\frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx, \qquad I_{3}=\int_{0}^{\pi}e^{-x}\sin x\,dx.\]
(1,5 pt \(\times\) 3)

On considère les deux plans \((P)\) et \((Q)\) définis par \((P):x-y+z=0\) et \((Q):2x+3y+z-6=0\), et la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(1\,;\,2\,;\,4)\) et tangente au plan \((P)\). Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(\Omega\) et perpendiculaire au plan \((Q)\).

1. Démontrer que \((P)\perp(Q)\). (0,5 pt)

2.

1. Déterminer le rayon \(R\) de la sphère \((S)\) puis déterminer une équation cartésienne de \((S)\). (1,25 pt)

2. Déterminer le point d’intersection de \((P)\) et \((S)\). (1 pt)

3.

1. Déterminer le point d’intersection de \((\Delta)\) et \((Q)\). (1 pt)

2. Démontrer que le plan \((Q)\) coupe la sphère \((S)\) selon un cercle \((\Gamma)\) ; déterminer son centre et son rayon. (1,25 pt)

Dans un espace, on considère l’ensemble \((S)\) des points \(M(x\,;\,y\,;\,z)\) tels que
\[x^{2}+y^{2}+z^{2}-2mx-2my-2mz-3=0,\]
où \(m\) est un paramètre réel.

1. Montrer que pour tout réel \(m\), l’ensemble \((S)\) est une sphère dont on déterminera le centre et le rayon en fonction de \(m\). (1 pt)

2. Soit \((P)\) le plan d’équation \(x+y+z-1=0\).

1. Déterminer le nombre réel \(m\) pour que le plan \((P)\) soit tangent à la sphère \((S)\). (0,5 pt)

2. Déterminer alors le triplet des coordonnées du point de contact du plan \((P)\) et de la sphère \((S)\). (1,5 pt)