Devoir surveillé n°2 — Semestre 2 (A)

1. Résoudre les équations différentielles suivantes et déterminer la solution vérifiant les conditions initiales données.

1. \(y'+e\,y+e^{2}=e^{t}\), \(y(e)=0\) (1 pt)

2. \(y''+4y=0\) (1 pt)

3. \(y''-y'=0\) (0,75 pt)

4. \(y''+y'+y=0\), \(y(0)=0\) et \(y'(0)=0\) (1,25 pt)

2.

1. Résoudre l’équation différentielle suivante : \(y''+y'-y=-2\). (1,25 pt)

2. Déterminer la solution vérifiant \(y(0)=e\) et \(y'(0)=0\). (0,75 pt)

Remarque : les questions I, II, III, IV et V sont indépendantes.

I)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=xe^{x}-2x\). Soit \((C_{f})\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath})\).

1. Démontrer que \((\forall\,x\in\,[0\,;\,+\infty[)\), \(\;xe^{-x}\leq xe^{x}-2x\leq e-2\). (1,5 pt)

2. En utilisant l’intégration par parties démontrer que \(\displaystyle\int_{0}^{1} xe^{-x}\,dx=1-\dfrac{2}{e}\). (1 pt)

3. Soit \(A(E)\) l’aire (en cm\(^{2}\)) de la partie limitée par la courbe \((C_{f})\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=1\). Démontrer que \(1-\dfrac{2}{e}\leq A(E)\leq e-2\). (1 pt)

II)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(1-x)\,e^{x}\).

4. Démontrer que \((\forall\,x\in\mathbb{R})\), \(f''(x)+f(x)=2f'(x)\). (1,5 pt)

5. Déduire la valeur de \(\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx\). (1 pt)

III)
On pose \(\displaystyle A=\int_{0}^{\pi/4}\frac{dx}{1+\sin x}\) et \(\displaystyle B=\int_{0}^{\pi/4}\frac{dx}{1-\sin x}\).

6. Calculer \(A+B\) et \(A-B\). (2 pts)

7. Déduire la valeur de \(A\) et \(B\). (1 pt)

IV)

8. En utilisant l’intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :
\[I=\int_{\sqrt{e}}^{e}\frac{x\ln x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx, \qquad E=\int_{0}^{1}\frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx, \qquad F=\int_{0}^{\pi}e^{-x}\sin x\,dx.\]
(1 pt \(\times\) 3)

V)
L’espace est rapporté à un repère orthogonal \((O\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\,;\,\vec{k})\) tel que \(\lVert\vec{\imath}\rVert=\sqrt{3}\;\text{cm}\). Calculer le volume du solide engendré par la rotation de la courbe de \(f\) autour de l’axe des abscisses sur \(I\) dans chacun des cas suivants :

9. \(I=[1\,;\,e^{\pi/2}]\) et \(f(x)=\sqrt{x\ln x}\). (1 pt)

10. \(I=\left[\dfrac{\pi}{3}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\) et \(f(x)=\sqrt{\sin x}\,\cos x\). (1 pt)