Examen blanc N°1

On considère la suite numérique \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par :
\[U_0 = 0 \qquad \text{et} \qquad \forall\, n \in \mathbb{N} :\; U_{n+1} = \frac{2}{3}\,U_n + 1\]

1. Calculer \(U_1\) et \(U_2\). (0,5 pt)

2. Montrer par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(0 \leq U_n < 3\). (0,5 pt)

3. Étudier la monotonie de \((U_n)\). En déduire que \((U_n)\) est convergente. (0,5 pt)

4. On pose \(V_n = U_n - 3\).

a) Montrer que \((V_n)\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac{2}{3}\),
puis déterminer son premier terme \(V_0\). (0,5 pt)

b) Exprimer \(V_n\) en fonction de \(n\), puis en déduire l’expression de \(U_n\)
en fonction de \(n\). (0,5 pt)

c) Calculer \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} U_n\). (0,5 pt)

L’espace est muni d’un repère orthonormal \(\left(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k}\right)\).
On considère le point \(A(-2\,;\,8\,;\,4)\) et le vecteur \(\vec{u}(1\,;\,5\,;\,-1)\).

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((d)\) passant par \(A\)
et de vecteur directeur \(\vec{u}\). (0,5 pt)

On considère les plans \((P)\) et \((Q)\) d’équations cartésiennes respectives :
\[(P):\; x - y - z = 7 \qquad \text{et} \qquad (Q):\; x - 2z = 11.\]

2. Démontrer que les plans \((P)\) et \((Q)\) sont sécants. Donner une représentation
paramétrique de leur droite d’intersection \((d')\). (0,5 pt)

3. Montrer que le vecteur \(\vec{v}(2\,;\,1\,;\,1)\) est un vecteur directeur de \((d')\). (0,25 pt)

4. Démontrer que les droites \((d)\) et \((d')\) ne sont pas coplanaires. (0,5 pt)

On considère les points \(H(-3\,;\,3\,;\,5)\) et \(H'(3\,;\,0\,;\,-4)\).

5.
a) Vérifier que \(H \in (d)\) et \(H' \in (d')\). (0,25 pt)

b) Démontrer que la droite \((HH')\) est perpendiculaire à \((d)\) et à \((d')\). (0,25 pt)

c) En déduire la distance entre les droites \((d)\) et \((d')\). (0,25 pt)

6. Déterminer l’équation cartésienne du plan \((\Pi)\) passant par \(H\) et
perpendiculaire à \((HH')\). (0,5 pt)

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct \((O\,;\,\vec{u},\,\vec{v})\),
on désigne par \(M\) et \(N\) les points d’affixes respectives
\(z_1 = e^{i\theta}\) et \(z_2 = i\,e^{i\theta}\), avec \(\theta \in \left]0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[\),
et par \(A\) le point d’affixe \(z_3 = \sqrt{3} + i\).

1.
a) Vérifier que \(|z_3| = 2\) et \(\arg(z_3) \equiv \dfrac{\pi}{6}\,[2\pi]\). (1 pt)

b) Écrire sous forme exponentielle le complexe \(z_3 \cdot e^{i\frac{\pi}{4}}\).
En déduire la valeur exacte de \(\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\). (1 pt)

2. Montrer que le triangle \(OMN\) est rectangle et isocèle. (1 pt)

Quatre camarades — Achraf, Omar, Marouane et Kamal — décident (indépendamment) d’aller au
cinéma le même jour, à la même heure. La ville dispose de quatre salles de cinéma.
On supposera l’équiprobabilité dans le choix des salles.

1. Calculer la probabilité que les quatre camarades se trouvent
chacun dans une salle différente. (0,5 pt)

2. Calculer la probabilité qu’Achraf et Marouane se trouvent
dans la même salle. (0,5 pt)

3. Calculer la probabilité qu’Achraf et Marouane se trouvent dans la même salle,
sans que ni Omar ni Kamal ne soient dans cette salle. (1 pt)

4. Calculer la probabilité que exactement deux camarades se retrouvent
dans le même cinéma, les deux autres étant dans deux salles distinctes (et différentes
de la salle partagée). (1 pt)

Soit la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x) = (e^x + 1)(e^x - 3)\]
On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
\(\left(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j}\right)\) d’unité graphique \(2\,\text{cm}\).

Partie I — Étude de \(f\) (4 pts)

1.

a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)\).
En déduire une asymptote à \((C)\). (0,5 pt)

b) Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et que :
\(f'(x) = 2\,e^x(e^x - 1)\). (0,5 pt)

c) Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variation de \(f\). (1 pt)

d) Calculer les coordonnées des points d’intersection de \((C)\) avec les axes
du repère. En déduire le signe de \(f(x)\) sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)

2.

a) Calculer \(f''(x)\). Déterminer l’abscisse du point \(A\) de \((C)\)
où s’annule \(f''\). (0,5 pt)

b) Écrire l’équation de la tangente \((T)\) à \((C)\) au point \(A\). (0,5 pt)

Partie II — Position relative de \((C)\) par rapport à \((T)\) (2,5 pts)

Soit \(t(x)\) la fonction affine associée à la droite \((T)\), et \(g\) la fonction définie par :
\(g(x) = f(x) - t(x)\).

3.

a) Montrer que :
\(\displaystyle g(x) = e^{2x} - 2\,e^x + \frac{x}{2} + \frac{\ln 2}{2} + \frac{3}{4}\). (0,75 pt)

b) Montrer que \(\displaystyle g'(x) = \frac{1}{2}(2\,e^x - 1)^{2}\), dresser le
tableau de variation de \(g\), puis en déduire la position de \((C)\) par rapport à \((T)\). (0,75 pt)

c) Construire \((C)\) et \((T)\) dans le repère \(\left(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j}\right)\).
Préciser l’asymptote. (1 pt)

Partie III — Compléments (1,5 pt)

4. Soit \(f_1\) la restriction de \(f\) à l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\).

a) Démontrer que \(f_1\) admet une fonction réciproque \(g_1\) définie sur un
intervalle \(J\) que l’on déterminera. (0,5 pt)

b) Calculer \(g_1(x)\). (0,5 pt)

5. Calculer, en \(\text{cm}^2\), l’aire du domaine plan délimité par la courbe \((C)\),
l’axe des abscisses et la droite d’équation \(x = \ln 3\) sur l’intervalle \([0\,;\,\ln 3]\). (0,5 pt)