Examen blanc N°2

On considère la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par :
\[u_0=0\qquad\text{et}\qquad\forall\,n\in\mathbb{N}:\;u_{n+1}=\frac{2+3u_n}{2+u_n}\]

1. Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \(u_{n+1}=a+\dfrac{b}{u_n+2}\). (0,5 pt)

2. Montrer par récurrence que \(\forall\,n\in\mathbb{N}:\;0\leq u_n<2\). (0,5 pt)

3. Montrer que \((u_n)\) est croissante. En déduire qu’elle converge. (0,5 pt)

4. On pose \(v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+1}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\tfrac{1}{4}\), puis calculer \(v_0\). (0,5 pt)

b) Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\), puis en déduire \(u_n\). (0,5 pt)

c) Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\). (0,5 pt)

L’espace est muni d’un repère orthonormal \(\bigl(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\bigr)\).
On considère \(A(1,0,-2)\), \(B(0,3,0)\) et \(C(2,1,0)\).

1.
a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\). (0,5 pt)

b) En déduire que l’équation du plan \((ABC)\) est \(x+y-z-3=0\). (0,25 pt)

2. Soit \(\Omega(1,1,1)\).
a) Calculer \(d\bigl(\Omega,(ABC)\bigr)\) et conclure que \((ABC)\) est tangent à la sphère \((S)\) de centre \(\Omega\) et de rayon \(R=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\). (0,5 pt)

b) Donner l’équation cartésienne de \((S)\). (0,25 pt)

3. On considère la droite \((\Delta):\;\begin{cases}x=t-1\\y=t-1\\z=-t+3\end{cases}\), \(t\in\mathbb{R}\).
a) Montrer que \((\Delta)\) passe par \(\Omega\) et est perpendiculaire au plan \((ABC)\). (0,5 pt)

b) Déterminer les coordonnées du point de tangence \(K\) entre \((ABC)\) et \((S)\). (0,5 pt)

4. Calculer la distance de \(A(1,0,-2)\) au plan \((P):\;2x+y-z=5\). (0,5 pt)

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E):\;z^2-2\sqrt{2}\,z+4=0\).
Écrire les solutions sous forme algébrique et exponentielle.(1 pt)

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\), soient \(A\) et \(B\) les points d’affixes
\(z_A=\sqrt{2}+i\sqrt{2}\) et \(z_B=\sqrt{2}-i\sqrt{2}\) (solutions de \((E)\)).

2.
a) Calculer \(|z_A|\), \(|z_B|\) et \(|z_A-z_B|\). (0,5 pt)

b) En déduire la nature du triangle \(OAB\). (0,5 pt)

3. Soit \(C\) le point d’affixe \(z_C=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}\).
a) Écrire \(z_C\) sous forme exponentielle. (0,25 pt)

b) Montrer que \(\overrightarrow{OA}\) est l’image de \(\overrightarrow{OC}\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\). (0,25 pt)

c) Soit \(D\) le point d’affixe \(z_D=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}\). Déterminer la nature du quadrilatère \(ACDB\). (0,5 pt)

Une urne contient \(6\) boules blanches numérotées de \(1\) à \(6\) et \(4\) boules noires
numérotées de \(1\) à \(4\). On tire successivement \(2\) boules sans remise.

Soit \(B\) : « obtenir au moins une boule blanche » et \(N\) : « les deux boules sont noires ».

1. Calculer \(P(N)\). (0,5 pt)

2. En déduire \(P(B)\). (0,25 pt)

3. Calculer la probabilité que les deux boules portent le même numéro. (0,75 pt)

4. On recommence l’expérience avec remise. Calculer la probabilité d’obtenir exactement une boule blanche. (0,75 pt)

5. Montrer que les événements \(B\) et \(N\) sont incompatibles dans le tirage sans remise. (0,75 pt)

Partie I — Étude de \(g\)(2 pts)

Soit \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par \(g(x)=2+xe^x\).

1. Montrer que \(g'(x)=(x+1)e^x\). Dresser le tableau de variation de \(g\) (sans calculer les limites). (0,75 pt)

2. En déduire que \(g(x)>0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\). (0,75 pt)

3. Montrer que l’équation \(g(x)=0\) n’a aucune solution dans \(\mathbb{R}\). (0,5 pt)

Partie II — Étude de \(f\)(5 pts)

Soit \(f(x)=(x-1)e^x+2x\), de courbe \((C_f)\) dans \((O;\vec{i},\vec{j})\) (unité : 1 cm).

1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\). Interpréter géométriquement. (0,5 pt)

2. Montrer que la droite \((D):\,y=2x\) est asymptote à \((C_f)\) en \(-\infty\), puis étudier la position relative de \((C_f)\) et \((D)\). (0,75 pt)

3. Montrer que \(f'(x)=g(x)\). En déduire le tableau de variation de \(f\). (0,75 pt)

4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\in\left]0,\tfrac{1}{2}\right[\). (0,5 pt)

5. Déterminer l’unique tangente \((T)\) à \((C_f)\) parallèle à \((D)\). (0,5 pt)

6. Construire \((C_f)\), \((D)\) et \((T)\) dans le repère ci-dessous. (\(\alpha\approx0{,}4\)) (1 pt)

7. Vérifier que \(H(x)=(x-2)e^x\) est une primitive de \((x-1)e^x\). En déduire l’aire (en cm²) du domaine délimité par \((C_f)\), \((D)\), l’axe des ordonnées et la droite \(x=1\). (1 pt)

Partie III — Équation différentielle(1 pt)

8. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation différentielle \((E):\;y'+2y=4\), puis déterminer la solution vérifiant \(y(0)=3\). (1 pt)