Examen blanc N°3

On définit la suite \((u_n)\) par :
\[u_0=\frac{\pi}{2}\quad\text{et}\quad\forall\,n\in\mathbb{N}^*:\;u_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n(t)\,dt.\]

1. Calculer \(u_1\). (0,25 pt)

2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante et positive. (0,5 pt)

3.
a) Montrer que \(u_{n+2}=(n+1)\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2(t)\sin^n(t)\,dt\). (0,5 pt)

b) Montrer que \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2(t)\sin^n(t)\,dt=u_n-u_{n+2}\). (0,5 pt)

c) Déduire que \(\forall\,n\in\mathbb{N}:\;u_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}\,u_n\). (0,25 pt)

4. Montrer que \(\dfrac{n+1}{n+2}\leq\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\leq 1\), puis déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}\). (0,5 pt)

5. On pose \(v_n=(n+1)u_{n+1}\cdot u_n\). Montrer que \((v_n)\) est constante et égale à \(\dfrac{\pi}{2}\). (0,5 pt)

L’espace est muni d’un repère orthonormal \(\bigl(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\bigr)\).
On considère la sphère \((S):\;x^2+y^2+z^2-2x-2y=0\) et le plan \((P):\;x-y-z-1=0\).

1. Déterminer les coordonnées du centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de \((S)\). (0,5 pt)

2. Montrer que \((P)\) coupe \((S)\) selon un cercle \((\mathcal{C})\). Déterminer le rayon \(r\) et le centre \(\omega\) de \((\mathcal{C})\). (1 pt)

3. Soit \((Q)\) le plan tangent à \((S)\) au point \(O\) (origine).
a) Déterminer une équation cartésienne de \((Q)\). (0,5 pt)

b) Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)=(P)\cap(Q)\). (0,5 pt)

4. Calculer le volume de la boule de sphère \((S)\). (0,5 pt)

Pour tout \(z\in\mathbb{C}\), on pose \(P(z)=z^3+(-2+\sqrt{2})z^2+2(1-\sqrt{2})z+2\sqrt{2}\).

1.
a) Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \(P(z)=(z+\sqrt{2})(z^2+az+b)\) pour tout \(z\in\mathbb{C}\). (0,5 pt)

b) Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E):\;P(z)=0\). (0,5 pt)

c) Écrire sous forme exponentielle les solutions de \((E)\). (0,5 pt)

2. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\), soient \(A\), \(B\), \(C\) les points d’affixes \(z_A=-\sqrt{2}\), \(z_B=1+i\), \(z_C=1-i\).
a) Placer \(A\), \(B\), \(C\) dans un repère. Déterminer la nature du triangle \(ABC\). (0,75 pt)

3.
a) Vérifier que \(\arg\!\left(\overrightarrow{AO},\overrightarrow{AB}\right)\equiv\dfrac{\pi}{8}\,[2\pi]\). (0,25 pt)

b) Écrire \(\dfrac{z_A-z_B}{z_A}\) sous forme algébrique et trigonométrique. (0,25 pt)

c) En déduire les valeurs exactes de \(\cos\dfrac{\pi}{8}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{8}\). (0,25 pt)

On dispose de deux urnes :

• l’urne \(U_1\) contient \(3\) boules blanches et \(1\) boule noire ;

• l’urne \(U_2\) contient \(1\) boule blanche et \(3\) boules noires.

On lance un dé cubique équilibré. Si le résultat est inférieur ou égal à \(2\), on tire au
hasard une boule de l’urne \(U_1\) ; sinon, on tire au hasard une boule de l’urne \(U_2\).
On note \(U_1\) et \(U_2\) les événements « choisir l’urne \(U_1\) » et « choisir l’urne \(U_2\) »,
et \(B\) : « la boule tirée est blanche ».

1. Justifier que \(P(U_1)=\dfrac{1}{3}\) et \(P(U_2)=\dfrac{2}{3}\). (0,5 pt)

2. Montrer que \(P(B)=\dfrac{5}{12}\). (1 pt)

3. Sachant que la boule tirée est blanche, calculer la probabilité qu’elle provienne de l’urne \(U_1\). (0,75 pt)

4. On répète l’expérience \(3\) fois de façon indépendante (la boule est remise et le dé relancé à chaque fois). Calculer la probabilité d’obtenir exactement \(2\) boules blanches. (0,75 pt)

Partie I — Étude de \(g\)(3,5 pts)

Soit \(g\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=x-1-4\ln x\).
\((C_g)\) désigne sa courbe représentative dans \((O;\vec{i},\vec{j})\) (unité graphique : 2 cm).

1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}g(x)\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{x}\). Interpréter géométriquement. (0,75 pt)

2. Étudier les variations de \(g\). Dresser le tableau de variation. (0,75 pt)

3. Montrer que \(g\) s’annule en \(x=1\) et en un unique réel \(\alpha\in\,]e^2,e^3[\). Étudier le signe de \(g\). (1 pt)

4. Construire \((C_g)\). (1 pt)

Partie II — Étude de \(f\)(4,5 pts)

On définit sur \(]0,+\infty[\) : \(f(x)=e^{g(x)}-g(x)\).

1.a) Vérifier que \(f(x)=\dfrac{e^{x-1}}{x^4}-(x-1)+4\ln x\). (0,25 pt)

1.b) Calculer \(f(\alpha)\) et \(f(1)\). (0,25 pt)

1.c) Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\). (0,5 pt)

2.a) Montrer que \(f'(x)=g'(x)\bigl(e^{g(x)}-1\bigr)\). (0,5 pt)

2.b) Justifier que \(f'(x)>0\) si et seulement si \(x\in\,]1,4[\,\cup\,]\alpha,+\infty[\). (0,5 pt)

2.c) Dresser le tableau de variation de \(f\). (0,5 pt)

3.a) Étudier la fonction \(h(t)=e^t-2t\) sur \(\mathbb{R}\) et montrer que \(e^t>2t\) pour tout \(t\in\mathbb{R}\). (0,5 pt)

3.b) En déduire la position relative de \((C_f)\) et \((C_g)\). (0,5 pt)

4. Tracer \((C_f)\) en repère (unité graphique 2 cm). (1 pt)