Examen blanc N°5

On considère la suite \((u_n)_{n\geq 1}\) définie par :
\[u_n=\frac{2^n}{3+2^{n+1}}\]

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\). (0,5 pt)

2. Montrer que \(\forall\,n\geq 1:\;0<u_n<\dfrac{1}{2}\). (0,5 pt)

3. Étudier la monotonie de \((u_n)\) et en déduire sa convergence. (0,75 pt)

4. En posant \(u_n=\dfrac{1}{3\cdot(1/2)^n+2}\), calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\). (0,5 pt)

5. On pose \(\forall\,n\geq 1:\;S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2}-u_k\right)\).
a) Montrer que \(\forall\,k\geq 1:\;\dfrac{1}{2}-u_k=\dfrac{3}{2\,(3+2^{k+1})}\). (0,25 pt)

b) Calculer \(S_1\) et \(S_2\). (0,25 pt)

c) Montrer que \((S_n)\) est croissante et majorée par \(\dfrac{3}{4}\), puis en déduire qu’elle converge. (0,25 pt)

L’espace est muni d’un repère orthonormal \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\).
Soient \(A(2,0,1)\), \(B(4,-1,2)\) et le plan \((P):\;2x-y+z-5=0\).

1. Vérifier que \(A\in(P)\). Déterminer la distance \(d(B,(P))\). (0,5 pt)

2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((AB)\). (0,5 pt)

3. Montrer que \((AB)\) est perpendiculaire à \((P)\). En déduire le pied \(H\) de la perpendiculaire de \(B\) sur \((P)\). (0,75 pt)

4. Déterminer l’équation cartésienne de la sphère \((S)\) de diamètre \([BH]\). (0,5 pt)

5. Montrer que \((P)\) est tangent à \((S)\). (0,25 pt)

6. Déterminer l’ensemble des points \(M(x,y,z)\) tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\). (0,5 pt)

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\).

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E):\;z^2-2z+2=0\).
Écrire les solutions sous forme exponentielle.(0,5 pt)

Soient \(A\) et \(B\) les points d’affixes \(z_A=1+i\) et \(z_B=1-i\).

2.
a) Montrer que le triangle \(OAB\) est isocèle rectangle en \(O\). (0,5 pt)

b) Calculer \(\arg\!\left(\dfrac{z_B}{z_A}\right)\). En déduire une mesure de \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\). (0,5 pt)

3. Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\).
a) Montrer que \(R\) transforme \(A\) en \(B\). (0,5 pt)

b) Soit \(C=R(B)\) et \(D=R(C)\). Déterminer les affixes \(z_C\) et \(z_D\). (0,5 pt)

c) Montrer que \(ABCD\) est un carré. (0,5 pt)

On lance simultanément deux dés équilibrés à 6 faces.
Soit \(A\) : « la somme est égale à 7 » et \(B\) : « les deux dés montrent le même chiffre ».

1. Décrire l’espace \(\Omega\) et préciser son cardinal. (0,25 pt)

2. Calculer \(P(A)\) et \(P(B)\). (0,5 pt)

3. Calculer \(P(A\cap B)\). Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils incompatibles ? (0,5 pt)

4. \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Justifier. (0,5 pt)

5. On répète l’expérience \(n\) fois. Calculer la probabilité d’obtenir au moins une fois l’événement \(A\). (0,75 pt)

6. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(P(\text{au moins un } A)\geq 0{,}99\). (0,5 pt)

Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=(\ln x)^2-\ln x+1\).
\((C_g)\) désigne sa courbe représentative dans \((O;\vec{i},\vec{j})\) (unité : 2 cm).

Partie I — Étude de \(g\)(3,5 pts)

1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}g(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)\). (0,5 pt)

2. Calculer \(g'(x)\) et dresser le tableau de variation de \(g\). Préciser la valeur minimale de \(g\). (0,75 pt)

3. Montrer que \(g(x)>0\) pour tout \(x\in\,]0,+\infty[\) (utiliser le discriminant de \(t^2-t+1\)). (0,5 pt)

4. Résoudre \(g(x)=1\) puis étudier le signe de \(g(x)-1\). (0,5 pt)

5. Construire \((C_g)\) dans le repère ci-dessous. (1,25 pt)

Partie II — Calcul intégral(4,5 pts)

6. Montrer que \(\displaystyle\int_1^e\ln(x)\,dx=1\) (intégration par parties). (0,5 pt)

7. Montrer que \(\displaystyle\int_1^e(\ln x)^2\,dx=e-2\) (intégration par parties). (0,75 pt)

8. En déduire \(\displaystyle\int_1^e g(x)\,dx\). (0,5 pt)

9. Calculer en cm² l’aire du domaine plan délimité par \((C_g)\) et la droite \(y=1\) sur \([1,e]\). (Unité graphique : 2 cm.) (0,75 pt)

10. Soit \(g_1\) la restriction de \(g\) à \([\sqrt{e},+\infty[\). Montrer que \(g_1\) admet une fonction réciproque définie sur \([3/4,+\infty[\), puis exprimer \(g_1^{-1}(x)\). (1 pt)

11. On admet que \(\displaystyle\int_{\sqrt e}^{e} g(x)\,dx=2e-\frac{11}{4}\sqrt e\). En utilisant l’interprétation par les aires de la fonction réciproque (symétrie par rapport à la droite \(y=x\)), calculer \(\displaystyle\int_{3/4}^{1}g_1^{-1}(x)\,dx\). (1 pt)