Examen blanc N°4

On considère la suite \((U_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par :
\[U_0=0\quad\text{et}\quad\forall\,n\in\mathbb{N}:\;U_{n+1}=\frac{1}{3}U_n+\frac{2}{3}\]

1. Calculer \(U_1\) et \(U_2\). (0,5 pt)

2. Montrer par récurrence que \(\forall\,n\in\mathbb{N}:\;0\leq U_n<1\). (0,5 pt)

3. Étudier la monotonie de \((U_n)\). Conclure sur sa convergence. (0,5 pt)

4. On pose \(V_n=U_n-1\).
a) Montrer que \((V_n)\) est une suite géométrique de raison \(\tfrac{1}{3}\). (0,5 pt)

b) Exprimer \(V_n\) puis \(U_n\) en fonction de \(n\). (0,5 pt)

c) Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}U_n\). (0,5 pt)

L’espace est muni d’un repère orthonormal \(\bigl(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\bigr)\).
On considère la sphère \((S):\;x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z+2=0\) et le plan \((P):\;x+y+z=2\).

1. Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de \((S)\). (0,5 pt)

2. Calculer la distance \(d(\Omega,(P))\). Conclure sur la position relative de \((S)\) et \((P)\). (0,75 pt)

3. \((P)\) coupe \((S)\) selon un cercle \((\mathcal{C})\). Déterminer le rayon \(r\) de \((\mathcal{C})\) et les coordonnées de son centre \(\omega\). (0,75 pt)

4. Donner l’équation du plan tangent à \((S)\) au point \(A(2,-1,3)\) (vérifier d’abord que \(A\in(S)\)). (0,5 pt)

5. Déterminer une équation de la droite \((\Delta)\) passant par \(\Omega\) et perpendiculaire à \((P)\). (0,5 pt)

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\).

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E):\;z^2-2z+4=0\).
Écrire les solutions sous forme exponentielle.(0,75 pt)

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) les points d’affixes \(z_A=1+i\sqrt{3}\), \(z_B=1-i\sqrt{3}\) et \(z_C=-2\).

2.
a) Vérifier que \(|z_A|=|z_B|=|z_C|=2\). (0,5 pt)

b) Calculer \(|z_A-z_B|\), \(|z_B-z_C|\) et \(|z_C-z_A|\). (0,5 pt)

3. Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{2\pi}{3}\).
a) Montrer que \(R\) transforme \(A\) en \(C\), puis \(C\) en \(B\). (0,5 pt)

b) En déduire que \(AC=CB=BA\). (0,25 pt)

c) Conclure sur la nature du triangle \(ABC\). (0,5 pt)

On tire successivement et avec remise deux cartes d’un jeu de 52 cartes
(13 valeurs \(\times\) 4 couleurs : • cœur, carreau, trèfle, pique).

Soit \(A\) : « la 1^re carte est un as » et \(B\) : « la 2^e carte est un roi ».

1. Justifier que \(A\) et \(B\) sont indépendants. Calculer \(P(A\cap B)\). (0,5 pt)

2. Calculer \(P(A\cup B)\). (0,5 pt)

3. Calculer la probabilité que les deux cartes soient de la même couleur. (0,75 pt)

4. On tire maintenant 3 cartes avec remise. Calculer la probabilité d’obtenir au moins un as. (0,75 pt)

5. Montrer que \(P(A\mid B)=P(A)\). (0,5 pt)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=e^{x}-e^{-x}\),
de courbe \((C_f)\) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\) (unité : 1 cm).

Partie I — Étude de \(f\)(3,5 pts)

1. Montrer que \(f\) est impaire. Que peut-on en déduire pour \((C_f)\) ? (0,5 pt)

2. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\). (0,5 pt)

3. Montrer que \(f'(x)=e^{x}+e^{-x}\), étudier son signe et dresser le tableau de variation de \(f\). (0,5 pt)

4. Montrer que \(f''(x)=e^{x}-e^{-x}\) et que \((C_f)\) admet un unique point d’inflexion \(I\) dont on précisera les coordonnées. (0,5 pt)

5. Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point \(I\), puis étudier la position relative de \((C_f)\) et \((T)\). (0,75 pt)

6. Construire \((C_f)\) et \((T)\). (0,75 pt)

Partie II — Calcul intégral et fonction réciproque(4,5 pts)

7. Vérifier que \(H(x)=e^{x}+e^{-x}\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). (0,5 pt)

8. Calculer (en cm²) l’aire du domaine délimité par \((C_f)\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=\ln 2\). (1 pt)

9. Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(g_1\) définie sur \(\mathbb{R}\). (0,5 pt)

10. On note \(g_1=f^{-1}\) sa fonction réciproque. Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\(\;g_1(x)=\ln\!\left(\dfrac{x+\sqrt{x^{2}+4}}{2}\right)\). (1 pt)

11. Calculer \(g_1'(x)\) et donner la valeur de \(g_1'(0)\). (0,75 pt)

12. Tracer \((C_{g_1})\) dans le même repère que \((C_f)\). (0,75 pt)