Devoir surveillé n°1 — Semestre 2 (2023)

I. Soit \(m\) un nombre complexe non nul et \(j = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\frac{2\pi}{3}}\) et \(a\), \(b\) et \(c\) des nombres complexes et \(n \in \mathbb{N}\).

1. Calculer \(j^{2}\) et \(j^{3}\) puis \(j^{n}\) selon les valeurs de \(n\). (2 pts)

2. Montrer que \(1 + j + j^{2} = 0\). (0,25 pt)

3. Calculer \(j + j^{2} + \dots + j^{2023}\). (0,75 pt)

4. Montrer que \(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a+b\bar{j}+cj)(a+bj+c\bar{j})\) puis résoudre l’équation \(z^{3}-3iz+1-i = 0\). (2 pt)

II. On considère dans \(\mathbb{C}\) l’équation d’inconnue \(z\) définie par \((E_{m}) : z^{2} + mj^{2}z + m^{2}j = 0\).

1. Montrer que le discriminant de l’équation \((E_{m})\) est \(\Delta = [m(1-j)]^{2}\). (0,5 pt)

2. Déterminer \(z_{1}\) et \(z_{2}\), les deux solutions de l’équation \((E_{m})\). (0,75 pt)

3. On suppose dans cette équation que \(m = 1+i\).

III. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O\,;\,\vec{u}\,;\,\vec{v})\). Soit \(\phi\) la transformation du plan complexe qui à tout point \(M(z)\) fait correspondre le point \(M'(z')\) tel que \(z' = (1+j)z\).

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de \(\phi\). (0,75 pt)

2. On considère les points suivants : \(A\) d’affixe \(m\) ; et \(B\) d’affixe \(mj\), et \(C\) d’affixe \(mj^{2}\) et on note \(A'(a')\), \(B'(b')\) et \(C'(c')\) les images respectives de \(A\), \(B\) et \(C\) par l’application \(\phi\) et soient \(P(p)\), \(Q(q)\) et \(R(r)\) les milieux respectifs de \([BA']\), \([CB']\) et \([AC']\).

1. Montrer que \(a' = -mj^{2}\) et \(b' = -m\) et \(c' = -mj\). (1,5 pt)

2. Montrer que \(p + qj + rj^{2} = 0\). (1,5 pt)

3. Déduire la nature du triangle \(PQR\). (1 pt)

Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\) on pose \(\displaystyle I_{n} = \frac{1}{2^{n+1} \cdot n!} \int_{0}^{1} (1-t)^{n}e^{t/2}\,dt\).

1. Calculer \(I_{1}\) puis démontrer que \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\ ;\ I_{n+1} = I_{n} - \dfrac{1}{2^{n+1} \cdot (n+1)!}\). (2,5 pt)

2. Déduire que \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\ ;\ \sqrt{e} = 1 + \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1!} + \dots + \dfrac{1}{2^{n}}\cdot\dfrac{1}{n!} + I_{n}\). (1,5 pt)

3.

1. Démontrer que \((\exists M \in \mathbb{R}_{+})(\forall n \in \mathbb{N}^{*})\ ;\ 0 \leq I_{n} \leq \dfrac{M}{2^{n} \cdot n!}\). (1 pt)

2. Déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^{k} \cdot k!}\). (1 pt)

Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}^{*}_{+}\) telle que \((\forall x \in \mathbb{R}^{*}_{+})\quad f'(x) = f\left(\dfrac{1}{x}\right)\quad (*)\).

1. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = f(e^{x})\). Montrer que \((\forall x \in \mathbb{R}^{*}_{+})\quad x^{2}f''(x) + f(x) = 0\) et déduire que \(g\) est la solution de l’équation différentielle \(y'' - y' + y = 0\). (1,5 pt)

2. Déterminer toutes les fonctions \(f\) vérifiant \((*)\). (1,5 pt)