Devoir surveillé n°1 — Semestre 2 (2022)

Soit \(m\) un nombre complexe non réel (\(m \in \mathbb{C} - \mathbb{R}\)).

I. On considère dans \(\mathbb{C}\) l’équation d’inconnue \(z\) définie par \((E) : z^{2} - (1+i)(1+m)z + 2im = 0\).

1.

1. Montrer que le discriminant de l’équation \((E)\) est non nul. (0,5 pt)

2. Déterminer \(z_{1}\) et \(z_{2}\), les deux solutions de l’équation \((E)\). (0,75 pt)

2. On suppose dans cette équation que \(m = e^{i\theta}\) avec \(0 < \theta < \pi\).

1. Déterminer le module et un argument de \(z_{1} + z_{2}\). (1 pt)

2. Montrer que si \(z_{1}z_{2} \in \mathbb{R}\) alors \(z_{1} + z_{2} = 2i\). (1 pt)

II. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O\,;\,\vec{u}\,;\,\vec{v})\).
On considère les points suivants : \(A\) d’affixe \(a = 1+i\) ; et \(B\) d’affixe \(b = (1+i)m\), et \(C\) le point d’affixe \(c = 1-i\), \(D\) l’image de \(B\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(\Omega\) le milieu du segment \([CD]\).

1.

1. Montrer que l’affixe de \(\Omega\) est \(\omega = \dfrac{(1-i)(1-m)}{2}\). (0,75 pt)

2. Calculer \(\dfrac{b-a}{\omega}\) et en déduire que \((O\Omega) \perp (AB)\) et que \(AB = 2O\Omega\). (1,25 pt)

2. La droite \((O\Omega)\) coupe la droite \((AB)\) au point \(H\) d’affixe \(h\).

1. Montrer que \(\dfrac{h-a}{b-a}\) est un réel et que \(\dfrac{h}{\,b-a\,}\) est un imaginaire pur. (1,25 pt)

2. En déduire \(h\) en fonction de \(m\). (0,5 pt)

Les questions (1), (2) et (3) sont indépendantes.

1. Soit \(j = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(a\), \(b\) et \(c\) des nombres complexes et \(n \in \mathbb{N}\).

1. Calculer \(j^{2}\) et \(j^{3}\) puis \(j^{n}\) selon les valeurs de \(n\). (1,5 pt)

2. Montrer que \(1 + j + j^{2} = 0\). (0,25 pt)

3. Calculer \(j + j^{2} + \dots + j^{2023}\). (0,75 pt)

4. Montrer que \(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a+b\bar{j}+cj)(a+bj+c\bar{j})\) puis résoudre l’équation \(z^{3}-3iz+1-i = 0\). (2 pts)

2. Soit \(z \in \mathbb{C} - \{i\}\), on pose \(f(z) = \dfrac{z+i}{1+iz}\). Montrer que \(\operatorname{Re}(f(z)) = \dfrac{1}{2} \iff \operatorname{Re}(z) = \dfrac{|1+iz|^{2}}{4}\). (1,5 pt)

3. Écrire sous forme trigonométrique \(z = \cos(x) + i(1+\sin(x))\) avec \(-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{3\pi}{2}\). (1 pt)

Les questions (1) et (2) sont indépendantes.

1. Soit \(\displaystyle I = \int_{0}^{\pi/2} \cos^{4}(x)\,dx\) ; \(\displaystyle J = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{4}(x)\,dx\) ; \(\displaystyle K = \int_{0}^{\pi/2} 2\sin^{2}(x)\cos^{2}(x)\,dx\).

1. Calculer \(I - J\) ; \(I + J + K\). (1,5 pt)

2. Calculer \(2\sin^{2}(x)\cos^{2}(x)\) en fonction de \(\cos(4x)\) puis calculer \(K\) et déduire les valeurs de \(I\) et \(J\). (1,5 pt)

2. Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}^{*}_{+}\) telle que \((\forall x \in \mathbb{R}^{*}_{+})\quad f'(x) = f\left(\dfrac{1}{x}\right)\quad (*)\).

1. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = f(e^{x})\). Montrer que \((\forall x \in \mathbb{R}^{*}_{+})\quad x^{2}f''(x) + f(x) = 0\) et déduire que \(g\) est la solution de l’équation différentielle \(y'' - y' + y = 0\). (1,5 pt)

2. Déterminer toutes les fonctions \(f\) vérifiant \((*)\). (1,5 pt)