Devoir surveillé n°1 — Semestre 2

Soit \(m\) un nombre complexe non réel (\(m \in \mathbb{C} - \mathbb{R}\)).

I. On considère dans \(\mathbb{C}\) l’équation d’inconnue \(z\) définie par \((E) : z^{2} - (1+i)(1+m)z + 2im = 0\).

1.

1. Montrer que le discriminant de l’équation \((E)\) est non nul. (0,5 pt)

2. Déterminer \(z_{1}\) et \(z_{2}\), les deux solutions de l’équation \((E)\). (1 pt)

2. On suppose dans cette équation que \(m = e^{i\theta}\) avec \(0 < \theta < \pi\).

1. Déterminer le module et un argument de \(z_{1} + z_{2}\). (0,75 pt)

2. Montrer que si \(z_{1}z_{2} \in \mathbb{R}\) alors \(z_{1} + z_{2} = 2i\). (0,75 pt)

II. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O\,;\,\vec{u}\,;\,\vec{v})\).
On considère les points suivants : \(A\) d’affixe \(a = 1+i\) ; et \(B\) d’affixe \(b = (1+i)m\), et \(C\) le point d’affixe \(c = 1-i\), \(D\) l’image de \(B\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(\Omega\) le milieu du segment \([CD]\).

1.

1. Montrer que l’affixe de \(\Omega\) est \(\omega = \dfrac{(1-i)(1-m)}{2}\). (0,5 pt)

2. Calculer \(\dfrac{b-a}{\omega}\) et en déduire que \((O\Omega) \perp (AB)\) et que \(AB = 2O\Omega\). (1,5 pt)

2. La droite \((O\Omega)\) coupe la droite \((AB)\) au point \(H\) d’affixe \(h\).

1. Montrer que \(\dfrac{h-a}{b-a}\) est un réel et que \(\dfrac{h}{\,b-a\,}\) est un imaginaire pur. (1,5 pt)

2. En déduire \(h\) en fonction de \(m\). (0,5 pt)

Première partie. On considère la fonction \(f\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par
\[\begin{cases} f(x) = (x+2)e^{-\frac{2}{x}}\,; & x > 0 \\ f(0) = 0 & \end{cases}\]
et \((C_{f})\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j})\) (unité \(2\,\text{cm}\)).

1.

1. Démontrer que \(f\) est continue et dérivable à droite en \(0\). (1,5 pt)

2. Démontrer que \(f\) est strictement croissante sur \([0\,;+\infty[\). (1,5 pt)

2.

1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)\). (0,5 pt)

2. Démontrer que \(\forall t > 0\ ;\ 0 \leq e^{-t} + t - 1 \leq \dfrac{t^{2}}{2}\). (1 pt)

3. Démontrer que \(\forall x > 0\ ;\ \dfrac{-4}{x} \leq f(x) - x \leq \dfrac{4}{x^{2}} - \dfrac{2}{x}\). (1 pt)

4. Déduire que la courbe \((C_{f})\) admet une asymptote oblique et déterminer son équation. (0,25 pt)

3. Construire \((C_{f})\). (1,25 pt)

Deuxième partie. Soit \(n\) un entier naturel non nul. On considère la fonction \(f_{n}\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par
\[\begin{cases} f_{n}(x) = \left(x+\dfrac{2}{n}\right)e^{-\frac{2}{x}}\,; & x > 0 \\ f_{n}(0) = 0 & \end{cases}\]

1. Démontrer que \(f_{n}\) est dérivable à droite en \(0\). (0,75 pt)

2. Étudier les variations de \(f_{n}\) sur \([0\,;+\infty[\). (1,5 pt)

3.

1. Démontrer que pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\) l’équation \(f_{n}(x) = \dfrac{2}{n}\) admet une unique solution \(a_{n}\) sur \([0\,;+\infty[\). (1 pt)

2. Démontrer que \((\forall x > 0),(\forall n \in \mathbb{N}^{*})\ ;\ f_{n+1}(x) - \dfrac{2}{n+1} > f_{n}(x) - \dfrac{2}{n}\). (0,5 pt)

3. Démontrer que la suite \((a_{n})\) est décroissante puis déterminer qu’elle est convergente. (0,75 pt)

4. On pose \(a = \lim a_{n}\) ; démontrer que \((\forall n \in \mathbb{N}^{*})\ ;\ na_{n} = 2e^{\frac{2}{a_{n}}} - 2\) puis démontrer que \(a = 0\). (1,5 pt)