Devoir surveillé n°2 — Semestre 2 (B)

Soit \(x\) un entier relatif tel que \(x^{1439} \equiv 1436\,[2015]\).

1. Sachant que \(1436 \times 1051 - 2015 \times 749 = 1\), démontrer que \(1436\) et \(2015\) sont premiers entre eux.

2. Soit \(d\) un diviseur commun de \(x\) et \(2015\).

1. Démontrer que \(d\) divise \(1436\). (1 pt)

2. Déduire que \(x\) et \(2015\) sont premiers entre eux. (0,5 pt)

3.

1. En utilisant le théorème de Fermat, démontrer que \(x^{1440} \equiv 1\,[5]\) et que \(x^{1440} \equiv 1\,[13]\) et que \(x^{1440} \equiv 1\,[31]\). (Remarquez que \(2015 = 5 \times 13 \times 31\).) (1,5 pt)

2. Démontrer que \(x^{1440} \equiv 1\,[65]\) puis déduire que \(x^{1440} \equiv 1\,[2015]\). (1,5 pt)

4. Démontrer que \(x \equiv 1051\,[2015]\). (1,5 pt)

On considère dans \((\mathbb{N}^{*})^{2}\) l’équation \((E)\) suivante : \((E) : x^{2}(x^{2} + 7) = y(2x + y)\).
Soit \((x\,,\,y)\) un élément de \((\mathbb{N}^{*})^{2}\) et \(\delta = x \wedge y\) et on pose \(x = \delta a\) et \(y = \delta b\).

1. Supposons que \((x\,,\,y)\) est solution de l’équation \((E)\).

1. Vérifier que \(a^{2}(\delta^{2}a^{2} + 7) = b(2a + b)\). (0,75 pt)

2. Déduire qu’il existe un entier naturel \(k\) tel que \(\delta^{2}a^{2} + 7 = kb\) et \(2a + b = ka^{2}\). (1 pt)

3. Démontrer que \(a = 1\). (1 pt)

4. Déduire que \((b+1)^{2} = \delta^{2} + 8\). (0,75 pt)

2. Résoudre dans \((\mathbb{N}^{*})^{2}\) l’équation \((E)\). (1,5 pt)

On rappelle que \((\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}),+,\times)\) est un anneau unitaire d’unité \(I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \((\mathbb{R},+)\) est un groupe commutatif.
Pour tout réel \(x\) on pose \(M(x) = \begin{pmatrix} 1-x & x \\ -2x & 1+2x \end{pmatrix}\).
On considère l’ensemble \(E = \{M(x)\,;\,x \in \mathbb{R}\}\).
On munit \(E\) d’une loi de composition interne \(T\) définie par \((\forall (x\,;\,y) \in \mathbb{R}^{2})\quad M(x)TM(y) = M(x+y+1)\).

1. Soit \(\varphi\) une application de \(\mathbb{R}\) dans \(E\) définie par : \((\forall x \in \mathbb{R})\quad \varphi(x) = M(x-1)\).

1. Démontrer que \(\varphi\) est un morphisme de \((\mathbb{R},+)\) dans \((E,T)\). (0,75 pt)

2. Démontrer que \((E,T)\) est un groupe commutatif. (1,75 pt)

2.

1. Démontrer que \((\forall (x\,;\,y) \in \mathbb{R}^{2})\quad M(x) \times M(y) = M(x+y+xy)\). (0,75 pt)

2. Déduire que \(E\) est une partie stable de \((\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}),\times)\) et que la loi \(«\,\times\,»\) est commutative dans \(E\). (1,5 pt)

3. Démontrer que la loi \(«\,\times\,»\) est distributive par rapport à la loi \(«\,T\,»\) dans \(E\). (0,75 pt)

4. Vérifier que \(M(-1)\) est l’élément neutre dans \((E,T)\) et que \(I\) est l’élément neutre dans \((E,\times)\). (1 pt)

3.

1. Vérifier que \(\left(\forall x \in \mathbb{R} - \{-1\}\right)\quad M(x) \times M\left(\dfrac{-x}{x+1}\right) = I\). (0,75 pt)

2. Démontrer que \((E,T,\times)\) est un corps commutatif. (1,75 pt)