Devoir surveillé n°2 — Semestre 2 (A)

1. Soit \(x\) un entier non nul premier avec \(53\).

1. Déterminer le reste modulo \(53\) de \(x^{52}\). (0,5 pt)

2. En déduire que pour tout entier naturel \(k\), \(x^{52k+1} \equiv x\,[53]\). (1 pt)

2. Soit l’équation \((E_{1}) : x^{29} \equiv 2\,[53]\) avec \(x \in \mathbb{Z}\). Montrer que \(2^{9}\) est une solution de l’équation \((E_{1})\). (1 pt)

3. Soit \(x\) une solution de l’équation \((E_{1})\).

1. Montrer que \(x\) est premier avec \(53\). (0,5 pt)

2. Montrer que \(x^{261} \equiv x\,[53]\). (1 pt)

3. En déduire que \(x \equiv 2^{9}\,[53]\). (0,5 pt)

4.

1. Montrer que \(2^{9} \equiv 35\,[53]\). (1,5 pt)

2. Donner alors l’ensemble des solutions dans \(\mathbb{Z}\) de l’équation \((E_{1})\). (2 pts)

5. On considère dans \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) l’équation \((E_{2}) : 71u - 53v = 1\).

1. Vérifier que \((3\,,\,4)\) est une solution de l’équation \((E_{2})\). (0,5 pt)

2. Résoudre dans \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) l’équation \((E_{2})\). (1,5 pt)

On rappelle que \((M_{2}(\mathbb{R}),+,\times)\) est un anneau unitaire d’unité \(I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \((\mathbb{R}\,;\,+)\) est un groupe commutatif. Pour tout réel \(x\) on pose \(M(x) = \begin{pmatrix} 1-x & x \\ -2x & 1+2x \end{pmatrix}\).
On considère l’ensemble \(E = \{M(x)\,;\,x \in \mathbb{R}\}\). On munit \(E\) d’une loi de composition interne \(T\) définie par \((\forall (x\,;\,y) \in \mathbb{R}^{2})\quad M(x)TM(y) = M(x+y+1)\).

1. Soit \(\phi\) une application de \(\mathbb{R}\) dans \(E\) définie par : \((\forall x \in \mathbb{R})\quad \phi(x) = M(x-1)\).

1. Démontrer que \(\phi\) est un morphisme de \((\mathbb{R},+)\) dans \((E\,;\,T)\). (1 pt)

2. Démontrer que \((E\,;\,T)\) est un groupe commutatif. (1,5 pt)

2.

1. Démontrer que \((\forall (x\,;\,y) \in \mathbb{R}^{2})\quad M(x) \times M(y) = M(x+y+xy)\). (1 pt)

2. Déduire que \(E\) est une partie stable de \((M_{2}(\mathbb{R}),\times)\) et que la loi \(«\,\times\,»\) est commutative dans \(E\). (2 pts)

3. Démontrer que la loi \(«\,\times\,»\) est distributive par rapport à la loi \(«\,T\,»\) dans \(E\). (1 pt)

4. Vérifier que \(M(-1)\) est l’élément neutre dans \((E,T)\) et que \(I\) est l’élément neutre dans \((E,\times)\). (1 pt)

3.

1. Vérifier que \((\forall x \in \mathbb{R} - \{-1\})\quad M(x) \times M\left(\dfrac{-x}{x+1}\right) = I\). (1 pt)

2. Démontrer que \((E\,;\,T,\times)\) est un anneau unitaire. (1,5 pt)