Devoir maison n°1 — Semestre 1 (sujet 3)

Les questions I, II, III, IV, V et VI sont indépendantes.

I. Soient \(x\) et \(y\) deux nombres strictement positifs. Démontrer que :
\[\left(\frac{x^{5}}{y^{-5}}\right)^{\frac{1}{3}} \times \left(\frac{x^{-8}}{y^{3}}\right)^{\frac{1}{12}} = xy\]

II. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation :
\[\sqrt[3]{2+x}+\sqrt[3]{2-x} = 2\sqrt[3]{4-x^{2}}\]

III. Calculer les limites suivantes :
\[\lim_{x\to 0}\frac{1-3x+1}{\sin x} \qquad;\qquad \lim_{x\to 8}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{\sqrt{x-4}-2}\]

IV. On considère la fonction \(f\) définie sur \([-1\,;+\infty[\) par :
\[f(x) = \frac{1-x^{3}+x}{x-1}\]

1. Vérifier que \(f(x) = -x + \dfrac{1}{x-1}\).

2. Démontrer que l’équation \(x = \dfrac{1}{x-1}\) admet une seule solution \(\alpha\) sur \([1\,;2[\).

3. Démontrer que \(\alpha^{2}(\alpha-2) = 1-\alpha\).

V. Soit \(f\) la fonction définie par :
\[f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{\tan(x)}, & x \neq 0,\\[6pt] 1, & x = 0. \end{cases}\]
Étudier la continuité de \(f\) en \(0\).

VI. Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
\[f(x) = \cos\!\left(\sqrt{x^{4}+5x^{2}+1}\right) \qquad;\qquad g(x) = (-x^{2}+4x)^{2025}\]

Soit \(f\) la fonction définie par :
\[f(x) = \sqrt{x^{2}-4}-x\]

1.

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. Calculer la dérivée \(f'(x)\) et étudier son signe.

2. Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(-2\) et en \(2\) ; interpréter géométriquement les résultats obtenus.

3. Déterminer le tableau de variations de \(f\).

4. Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur \([2\,;+\infty[\).

1. Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.

5. Calculer \(g^{-1}(-1)\) et \((g^{-1})'(-1)\).

6. Déterminer l’expression de \(g^{-1}(x)\).