Devoir maison n°2 — Semestre 1

On considère la fonction numérique \(f\) définie par :
\[f(x)=x+2\sqrt{1-x}.\]
On désigne par \((C_{f})\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère
orthonormé \(\bigl(O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j}\bigr)\).

1.

1. Déterminer \(D_{f}\) et montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty\).

2. Montrer que la courbe \((C_{f})\) admet, au voisinage de \(-\infty\), une branche parabolique de
   direction asymptotique la droite \((D)\) d’équation \(y=x\).

3. Étudier la position relative de la courbe \((C_{f})\) par rapport à la droite \((D)\).

2.

1. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la courbe \((C_{f})\) et de l’axe des ordonnées.

2. Étudier la dérivabilité de la fonction \(f\) en \(0\), et interpréter le résultat obtenu géométriquement.

3. Déterminer l’équation réduite de la tangente \((T)\) à la courbe \((C_{f})\) au point d’abscisse \(0\).

3. Étudier la dérivabilité de \(f\) à gauche en \(1\), et interpréter géométriquement le résultat obtenu.

4.

1. Montrer que la fonction \(f\) est dérivable sur \(]-\infty\,;1[\) et que
   \[\bigl(\forall\, x\in\,]-\infty\,;1[\bigr)\;;\quad f'(x)=\frac{-x}{1-x+\sqrt{1-x}}.\]

2. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\).

5.

1. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \(]-\infty\,;1[\), et que \(-5<\alpha<-4\).

2. Vérifier que \(\alpha^{2}+4\alpha-4=0\), puis en déduire la valeur exacte de \(\alpha\).

6. Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur \(]-\infty\,;0]\).

1. Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.

2. Comparer \(g^{-1}(-10)\) et \(g^{-1}(-20)\).

3. Calculer \(g(-3)\), puis montrer que \(g^{-1}\) est dérivable en \(1\) et déterminer \((g^{-1})'(1)\).

4. Donner le tableau de variations de \(g^{-1}\).

7. Construire dans le même repère les courbes \((C_{f})\) et \((C_{g^{-1}})\) et la droite \((D)\) dans le repère
\(\bigl(O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j}\bigr)\).