Devoir surveillé n°2 — Semestre 1
| Enseignant : Nidal SABI | Niveau : 2ème Bac SX BIOF | Durée : 2 heures |
| Semestre : 1 | Barème : 20 points | Calculatrice : autorisée |
Instructions :
Le candidat peut traiter les exercices dans l’ordre qui lui convient.
L’usage de la calculatrice est autorisé.
Exercice n°1
Soit \((u_{n})\) la suite définie par :
\[\begin{cases} u_{0} = 3,\\[4pt] u_{n+1} = \dfrac{3u_{n} + 2}{u_{n} + 2}. \end{cases}\]
1. Démontrer par récurrence que \(\forall\, n \in \mathbb{N}\), \(u_{n} > 2\). (1 pt)
2. Étudier la monotonie de \((u_{n})\) puis en déduire qu’elle est convergente. (1,5 pt)
3. On considère la suite \((v_{n})\) définie par \(v_{n} = \dfrac{u_{n} - 2}{u_{n} + 1}\).
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Démontrer que \((v_{n})\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac{1}{4}\). (1,5 pt)
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Exprimer \(v_{n}\) puis \(u_{n}\) en fonction de \(n\), puis calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_{n}\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_{n}\). (1,5 pt)
4. Calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} v_{k} = v_{1} + v_{2} + \cdots + v_{n}\). (1,5 pt)
Exercice n°2
A) Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}.\]
1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\) puis montrer que la droite \((\Delta) : y = 2x - 1\) est une asymptote oblique à \((C_{f})\) au voisinage de \(+\infty\). (1,5 pt)
2. Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)\) puis interpréter le résultat géométriquement. (1 pt)
3. Montrer que \((\forall\, x \in \mathbb{R})\) \(\;f'(x) = \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}}\).
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Montrer que \((\forall\, x \in \mathbb{R})\), \(f'(x) > 0\). (0,5 pt)
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Dresser le tableau de variations de \(f\). (0,5 pt)
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Montrer que la droite \((D) : y = x\) est tangente à \((C_{f})\) au point \(O\). (0,5 pt)
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Montrer que \((\forall\, x \in \mathbb{R})\), \(f(x) - x \geq 0\) puis interpréter le résultat géométriquement. (1 pt)
4. Tracer \((C_{f})\) dans un repère orthonormé. (1 pt)
5.
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Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(J\) (à déterminer). (1 pt)
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Tracer \((C_{f^{-1}})\), le graphe de \(f^{-1}\), dans le même repère. (1 pt)
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Montrer que la fonction \(f^{-1}\) est dérivable en \(0\) et calculer \((f^{-1})'(0)\). (1 pt)
B) Soit la suite \((u_{n})\) définie par : \(u_{0} = -\dfrac{1}{2}\) et \(u_{n+1} = f(u_{n})\).
6. Montrer que : \((\forall\, n \in \mathbb{N})\), \(-1 < u_{n} < 0\). (1 pt)
7. Montrer que la suite \((u_{n})\) est croissante. (0,5 pt)
8. En déduire que \((u_{n})\) est convergente puis déterminer sa limite. (0,5 pt)