Devoir maison n°2 — Semestre 1 (2019)

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{x+1}}\) et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O;\,\vec{\imath};\,\vec{\jmath})\).

1. Déterminer \(D_f\) l’ensemble de définition de \(f\). (0,5 pt)

2. Démontrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} = 0\), et interpréter les résultats géométriquement. (1,5 pt)

3. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\) et interpréter le résultat géométriquement. (1 pt)

4.

1. Démontrer que \((\forall\, x \in\, ]0\,;+\infty[)\), \(f'(x) = \dfrac{x+2}{\sqrt{(x+1)^3}}\). (1 pt)

2. Donner le tableau de variations de \(f\). (0,75 pt)

5.

1. Démontrer que \((\forall\, x \in\, [0\,;+\infty[)\), \(f(x) - x = \dfrac{x(1-x)}{\sqrt{x+1}}\). (0,75 pt)

2. Déduire la position relative de \((C_f)\) et la droite \((D) : y = x\). (1 pt)

6. Construire \((C_f)\). (1,5 pt)

7.

1. Démontrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer. (0,75 pt)

2. Construire \((C_{f^{-1}})\) dans le même repère \((O;\,\vec{\imath};\,\vec{\jmath})\). (1,25 pt)

Soit \((u_n)\) la suite définie par
\[\begin{cases} u_0 = 3,\\[4pt] u_{n+1} = \dfrac{3u_n + 2}{u_n + 2}. \end{cases}\]

1. Démontrer par récurrence que \(\forall\, n \in \mathbb{N}\), \(u_n > 2\). (1 pt)

2. Étudier la monotonie de \((u_n)\) puis déduire qu’elle est convergente. (1,5 pt)

3. On considère la suite \((V_n)\) définie par \(V_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n + 1}\).

1. Démontrer que \((V_n)\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac{1}{4}\). (1,5 pt)

2. Exprimer \(V_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\). (1,5 pt)

3. Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} V_n\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n\). (1 pt)

4.

1. Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} V_k\). (1,5 pt)

2. Vérifier que \(\dfrac{3}{u_n+1} = 1 - V_n\). (0,5 pt)

5.

1. On pose \(S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{3}{u_k+1}\) et déduire que
   \[\sum_{k=0}^{n} S_k = n + 1 + \frac{4}{3}\left[\left(\frac{1}{4}\right)^{n+1} - 1\right].\]
   (1,5 pt)

2. Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=0}^{n} S_k\). (0,5 pt)

Soit \((w_n)\) et \((t_n)\) les suites définies par
\[w_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}}, \qquad t_n = \underbrace{\sqrt{2\sqrt{2\cdots\sqrt{2}}}}_{n\text{ fois}}.\]
Démontrer que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} w_n = 1\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} t_n = 2\).