Devoir surveillé n°3 — Semestre 1 (2017)

I) Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1. Démontrer que quel que soit le réel \(x\) on a :
\[\ln(e^{x} + 1) - \ln(1 + e^{-x}) = x.\]
(0,5 pt)

2. Démontrer que
\[\frac{e^{2x} + 2e^{x} + 1}{e^{2x} + e^{x}} = 1 + e^{-x}.\]
(0,5 pt)

II) Calculer :
\[\lim_{x \to +\infty} x\,\ln\!\left(1 + \frac{1}{x}\right), \qquad \lim_{x \to 0^{+}} x\,(\ln x)^{2}, \qquad \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{2018}} - \frac{1}{\ln x}, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)}{x^{5}}.\]
(2 pts)

III) On pose \(P(X) = 2X^{3} + 7X^{2} + 2X - 3\).

3. Calculer \(P(-1)\), en déduire une factorisation de \(P\). (1,25 pt)

4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(P(X) = 0\). (0,75 pt)

5. En déduire la résolution dans \(\mathbb{R}\) de :
\[2\ln^{3} x + 7\ln^{2} x + 2\ln x - 3 = 0,\]
\[\ln(2x + 3) + \ln(x^{2} + 2x + 2) = \ln(8x + 9).\]
(3 pts)

Partie A. On considère la fonction \(g\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(g(x) = -2x^{2} - 1 + \ln x\).

1. Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x \in\, ]0\,;+\infty[\). Étudier son signe sur \(]0\,;+\infty[\). (1 pt)

2. Dresser le tableau de variations de \(g\) sur \(]0\,;+\infty[\). (On ne demande pas les limites de \(g\) aux bornes de \(D_{g}\).) (1 pt)

3. En déduire le signe de \(g(x)\) pour tout \(x \in\, ]0\,;+\infty[\). (0,5 pt)

Partie B. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par
\[f(x) = -x + 1 - \frac{\ln x}{2x}.\]
On désigne par \(C\) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal \((O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\) d’unités graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.

4.

1. Calculer la limite de \(f\) en \(0\). Interpréter graphiquement ce résultat. (1 pt)

2. Calculer la limite de \(f\) en \(+\infty\). (0,5 pt)

3. Démontrer que la droite \(\Delta\) d’équation \(y = -x + 1\) est asymptote à la courbe \(C\) au voisinage de \(+\infty\). (1 pt)

4. Étudier la position relative de \(C\) et \(\Delta\) sur \(]0\,;+\infty[\). (1 pt)

5.

1. Vérifier que pour tout \(x \in\, ]0\,;+\infty[\), \(\;f'(x) = \dfrac{g(x)}{2x^{2}}\). (1,5 pt)

2. Donner le tableau de variations de \(f\) sur \(]0\,;+\infty[\). (0,5 pt)

3. Calculer \(f(1)\). En déduire le signe de \(f\) sur \(]0\,;+\infty[\). (0,5 pt)

6. Dans le plan muni du repère \((O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\), tracer la droite \(\Delta\) et la courbe \(C\). (2 pts)

7. Vérifier que la fonction \(F\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par
\[F(x) = -\frac{1}{2}\,x^{2} + \frac{x}{4} - \frac{1}{4}\,(\ln x)^{2}\]
est une primitive de \(f\). (0,5 pt)