Devoir surveillé n°2 — Semestre 1 (B)

Soit \((U_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) la suite définie par :
\[U_{0}=2 \qquad\text{et}\qquad U_{n+1}=\frac{1}{4}\,U_{n}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n+2}\]
On pose, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) :
\[V_{n}=U_{n}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\]

1. Démontrer que la suite \((V_{n})\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{4}\). (1,75 pt)

2. Calculer \(V_{0}\) puis calculer \(V_{n}\) en fonction de \(n\). (1,25 pt)

3. Calculer \(U_{n}\) en fonction de \(n\) puis calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}U_{n}\). (2 pts)

4. Calculer la somme \(S_{n}=U_{0}+U_{1}+\cdots+U_{n}\). (2 pts)

Soient \((V_{n})\) et \((U_{n})\) deux suites définies par :
\[V_{n}=\frac{2}{2U_{n}-3}\,; \qquad \begin{cases} U_{0}=\dfrac{9}{3}=3 \\[6pt] U_{n+1}=3-\dfrac{9}{4\,U_{n}} \end{cases} \quad(\forall n\in\mathbb{N})\]

1. Démontrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\) ; \(U_{n}>\dfrac{3}{2}\). (1,5 pt)

2. Démontrer que la suite \((U_{n})\) est décroissante. (1,5 pt)

3. Déduire que la suite \((U_{n})\) est convergente. (0,5 pt)

4. Démontrer que la suite \((V_{n})\) est arithmétique de raison \(\dfrac{2}{3}\). (1,5 pt)

5. Déterminer \(V_{n}\) puis \(U_{n}\) en fonction de \(n\) et déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}U_{n}\). (3 pts)

I) Fonction \(f\)

On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x^{2}\,(x-1)^{2018}\).

1. Déterminer les nombres réels \(a\), \(b\) et \(c\) pour que \(x^{2}=a\,(x-1)^{2}+b\,(x-1)+c\). (1 pt)

2. Déduire les primitives de la fonction \(f\). (1 pt)

3. Déterminer la fonction primitive \(F\) de la fonction \(f\) qui vérifie la condition \(F(0)=4\). (1 pt)

II) Primitives des fonctions suivantes

Déterminer les primitives des fonctions suivantes : (2 pts)

4. \(g(x)=\cos(2x)\,\cos(x)\)

5. \(\displaystyle h(x)=\frac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}}\)