Examen blanc N°6

Pour tout entier \(n\geq 1\), on pose :
\[S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\]

1. Décomposer \(\dfrac{1}{k(k+1)}\) en éléments simples. (0,75 pt)

2. Montrer que \(S_n=1-\dfrac{1}{n+1}\). En déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n\). (0,75 pt)

3. Montrer que \((S_n)\) est croissante et majorée par \(1\). (0,75 pt)

4. On pose \(u_n=S_n-S_{n-1}\) pour \(n\geq 2\).
a) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\). (0,25 pt)

b) Étudier la monotonie de \((u_n)\). (0,25 pt)

c) Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n\cdot u_n\). (0,25 pt)

L’espace est muni d’un repère orthonormal \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\).
On considère les plans \((P):\;x+2y-2z+3=0\) et \((Q):\;2x+y+2z-1=0\).

1. Montrer que \((P)\) et \((Q)\) sont sécants. Donner une représentation paramétrique de leur droite d’intersection \((\Delta)\). (0,75 pt)

2. Montrer que le vecteur \(\vec{w}(6,-6,-3)\) est directeur de \((\Delta)\). (0,25 pt)

On considère le point \(A(1,1,1)\).
3. Calculer la distance \(d(A,(P))\) et \(d(A,(Q))\). (0,5 pt)

4. Déterminer le pied \(H\) de la perpendiculaire de \(A\) sur \((P)\). (0,5 pt)

5. Soit \((S)\) la sphère de centre \(A\) et tangente à \((P)\). Donner l’équation de \((S)\). (0,5 pt)

6. Montrer que \((S)\) est également tangente à \((Q)\). (0,5 pt)

On pose \(z_0=1\) et \(\forall\,n\in\mathbb{N}:\;z_{n+1}=(1+i)\,z_n\).

1.
a) Écrire \(1+i\) sous forme exponentielle. (0,5 pt)

b) Montrer que \((z_n)\) est géométrique. Exprimer \(z_n\) en fonction de \(n\). (0,5 pt)

c) En déduire \(|z_n|\) et \(\arg(z_n)\) en fonction de \(n\). (0,5 pt)

2.
a) Pour quelles valeurs de \(n\) a-t-on \(z_n\in\mathbb{R}\) ? Calculer les valeurs correspondantes. (0,5 pt)

b) Pour quelles valeurs de \(n\) a-t-on \(z_n\in i\mathbb{R}\) (imaginaire pur non nul) ? (0,5 pt)

3. En utilisant \(z_1\), en déduire la valeur exacte de \(\cos\dfrac{\pi}{4}\).(0,5 pt)

Un élève répond à un QCM de \(n\) questions à choix unique parmi \(4\) propositions.
Il répond au hasard à chaque question, indépendamment des autres.

Soit \(X\) le nombre de bonnes réponses.

1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\) avec \(p=\dfrac{1}{4}\). (0,5 pt)

2. Pour \(n=10\), calculer \(P(X=0)\), \(P(X=1)\) et \(P(X\geq 2)\). (0,75 pt)

3. Pour \(n=10\), calculer l’espérance \(E(X)\) et la variance \(V(X)\). (0,5 pt)

4. Montrer que \(P(X\geq 1)=1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^n\). (0,5 pt)

5. Trouver le plus petit entier \(n\) tel que \(P(X\geq 1)\geq 0{,}99\). (0,75 pt)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{2}{x}+\ln x\),
de courbe \((C_f)\) dans \((O;\vec{i},\vec{j})\) (unité : 2 cm).

Partie I — Étude de \(f\)(3,5 pts)

1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\). En déduire les branches infinies de \((C_f)\). (0,5 pt)

2. Montrer que \(f'(x)=\dfrac{x-2}{x^2}\). Étudier le signe de \(f'\) et dresser le tableau de variation. (0,75 pt)

3. Calculer \(f(2)\) (valeur minimale). Déduire le signe de \(f(x)\) sur \(]0,+\infty[\). (0,5 pt)

4. Montrer que \(f''(x)=\dfrac{4-x}{x^3}\). En déduire le point d’inflexion \(I\). (0,5 pt)

5. Écrire l’équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’inflexion \(I\). (0,5 pt)

6. Construire \((C_f)\) et \((T)\) dans le repère ci-dessous. (0,75 pt)

Partie II — Calcul intégral et réciproque(4,5 pts)

7. Montrer que \(H(x)=2\ln x+x\ln x-x\) est une primitive de \(f\) sur \(]0,+\infty[\). (0,5 pt)

8. Calculer (en cm²) l’aire du domaine délimité par \((C_f)\), l’axe des abscisses et les droites \(x=1\), \(x=e\) sur \([1,e]\). (Unité graphique : 2 cm.) (1 pt)

9. Soit \(f_1\) la restriction de \(f\) à \(]0,2]\). Montrer que \(f_1\) admet une fonction réciproque \(f_1^{-1}\) définie sur \([1+\ln 2,\,+\infty[\). Donner l’expression de \(f_1^{-1}\) si possible, sinon justifier son existence. (0,75 pt)

10. À l’aide du théorème des valeurs intermédiaires, montrer que l’équation \(f(x)=3\) admet exactement deux solutions dans \(]0,+\infty[\). (1 pt)

11. Calculer \(\displaystyle\int_1^e\frac{\ln t}{t}\,dt\). (0,5 pt)

12. En déduire \(\displaystyle\int_1^e\frac{2+\ln x}{x}\,dx\). (0,75 pt)