Examen blanc N°17 — archive convertie

Barème détaillé : 1.a) 0,5 ; 1.b) 0,25 ; 1.c) 0,25 ; 2.a) 0,5 ; 2.b) 0,25 ; 2.c) 0,25 ; 2.d) 0,25 ; 3.a) 0,5 ; 3.b) 0,25 pt.

On considère la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par
\[u_0=\frac12\qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=\frac{u_n}{2-u_n}\quad(n\in\mathbb N).\]

1. 1. Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb N\), \(0<u_n<1\).

   2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante.

   3. En déduire que \((u_n)\) est convergente.

2. On pose \(v_n=\dfrac{u_n}{1-u_n}\).

   1. Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\).

   2. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).

   3. En déduire que \(u_n=\dfrac{1}{1+2^n}\).

   4. Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\).

3. Pour \(n\in\mathbb N\), on pose \(S_n=v_0+v_1+\cdots+v_n\).

   1. Montrer que \(S_n=2-\left(\dfrac12\right)^n\).

   2. Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n\).

Barème détaillé : 1) 0,75 ; 2) 0,5 ; 3) 0,75 ; 4) 0,5 ; 5) 0,5 pt.

Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère \(A(1,1,1)\), \(B(2,1,0)\), \(C(0,2,1)\) et le plan \((P):x+y+z-3=0\).

1. Montrer que \(A\), \(B\) et \(C\) appartiennent à \((P)\) et ne sont pas alignés.

2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par \(A\) et perpendiculaire à \((P)\).

3. Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(O\) sur \((P)\).

4. Calculer la distance de \(O\) à \((P)\).

5. Donner l’équation de la sphère de centre \(O\) tangente à \((P)\).

Barème détaillé : 1) 0,5 ; 2.a–d) 0,25 chacune ; 3.a–d) 0,25 chacune ; 4.a–b) 0,25 chacune pt.

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec u,\vec v)\),
on considère les points \(A,B,C,D\) d’affixes
\[z_A=-\sqrt2,\qquad z_B=1+i,\qquad z_C=1-i, \qquad z_D=2+\sqrt2.\]

1. Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \(z^2-2z+2=0\).

2. 1. Montrer que
      \(z_B-z_A=\left(\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)(z_C-z_A)\).

   2. Écrire \(\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}\) sous forme exponentielle.

   3. Montrer que \((\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})\equiv\dfrac\pi4\ [2\pi]\)
      et calculer \(\dfrac{AB}{AC}\).

   4. En déduire que \(B\) est l’image de \(C\) par la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac\pi4\).

1. 1. Montrer que le quadrilatère \(ACDB\) est un losange.

   2. Montrer que \((\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB})\equiv\dfrac\pi8\ [2\pi]\).

   3. En déduire que \(\arg(1+\sqrt2+i)\equiv\dfrac\pi8\ [2\pi]\).

   4. Écrire \(1+\sqrt2+i\) sous forme trigonométrique.

2. Soit \((\Delta)\) l’ensemble des points \(M(z)\) tels que
   \(|z-1-i|=|z-1+i|\).

   1. Interpréter géométriquement cette égalité.

   2. Montrer que \((\Delta)\) est la droite \((OA)\).

Barème détaillé : 1) 0,5 ; 2) 0,75 ; 3) 0,75 ; 4) 1 pt.

Une urne contient cinq boules blanches et trois boules noires, indiscernables au toucher. On tire simultanément trois boules.

1. Calculer le nombre total de tirages possibles.

2. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux boules blanches.

3. Calculer la probabilité d’obtenir au moins une boule noire.

4. On répète quatre fois l’expérience, avec remise après chaque tirage. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux fois trois boules blanches.

Barème détaillé : I.1.a–b) 0,5 chacune ; I.2) 0,5 ; II.1.a–b) 0,5 chacune ; II.2.a–b) 0,5 chacune ; II.3) 0,25 ; II.4.a–b) 0,5 chacune ; II.5) 0,5 ; II.6.a–b) 0,25 chacune ; II.7) 0,5 ; II.8.a–c) 0,5 chacune ; II.8.d) 0,25 pt.

Partie I — Fonction auxiliaire

On considère \(g\) définie sur \(\mathbb R\) par \(g(x)=x+1-e^x\).

1. 1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g(x)\) et
      \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)\).

   2. Étudier les variations de \(g\) et dresser son tableau de variation.

2. Calculer \(g(0)\) et en déduire que \(g(x)\leq0\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

Partie II — Étude de la fonction

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par
\[f(x)=\frac{(x+1)^2}{e^x}-1=(x+1)^2e^{-x}-1.\]
On note \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé d’unité \(2\,\)cm.

1. 1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et interpréter le résultat.

   2. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\) et
      \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}x\), puis interpréter les résultats.

2. 1. Montrer que \(f'(x)=(1-x^2)e^{-x}\).

   2. Dresser le tableau de variation de \(f\).

3. Montrer que la droite \((D):y=x\) est tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(0\).

4. 1. Montrer que \(f(x)-x=(x+1)e^{-x}g(x)\).

   2. En déduire la position relative de \((C_f)\) et \((D)\).

1. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution
   \(\alpha\) dans \([2,3]\).

2. 1. Montrer que \(f''(x)=(x^2-2x-1)e^{-x}\).

   2. Étudier la concavité de \((C_f)\) et déterminer les coordonnées de ses deux points d’inflexion.

3. Tracer \((C_f)\) et \((D)\). On prendra \(\alpha\simeq2,5\) et
   \(\dfrac4e-1\simeq0,5\).

4. 1. Montrer que \(H(x)=-(x+2)e^{-x}\) est une primitive de
      \(h(x)=(x+1)e^{-x}\).

   2. En déduire que \(\displaystyle\int_0^1(x+1)e^{-x}\,dx=2-\dfrac3e\).

   3. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que
      \[\int_0^1(x+1)^2e^{-x}\,dx=5-\frac{10}{e}.\]

   4. Calculer, en cm\(^2\), l’aire du domaine délimité par \((C_f)\),
      l’axe des abscisses et les droites \(x=0\) et \(x=1\).