Examen blanc d’entraînement N°16

Barème détaillé : 1), 2), 3.a–b), 4) et 5) : 0,5 pt chacune.

Soit \(\left(u_n\right)\) la suite numérique définie par: \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\sqrt{3} u_n+\sqrt{3}-1\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\)

1. Montrer, par récurrence, que \(u_n>-1\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\)

2. Vérifier que : \(\forall n \in \mathbb{N} ; u_{n+1}-u_n=(\sqrt{3}-1)\left(u_n+1\right)\).En déduire la monotonie de la suite \(\left(u_n\right)\)

3. Soit \(\left(v_n\right)\) la suite numérique définie par: \(v_n=u_n+1\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\)

   1. Montrer que \(\left(v_n\right)\) est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme.

   2. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\), puis déduire que : \(\forall n \in \mathbb{N} ; u_n=3^{\frac{n}{2}}-1\)

4. Calculer la limite de la suite \(\left(u_n\right)\)

5. Déterminer la plus petite valeur de l’entier \(n\) pour laquelle \(u_n>50\)

Barème détaillé : 1) 0,5 ; 2.a–b) 0,75 chacune ; 3) 0,5 ; 4) 0,5 pt.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère les points \(A(1 ;-1 ; 0)\) et \(B(2 ; 1 ; 3)\)

1. Calculer \(\overrightarrow{O A} \times \overrightarrow{O B}\), en déduire que \(x+y-z=0\) est une équation cartésienne du plan \((O A B)\)

2. Soit \((S)\) la sphère de centre \(\Omega(2 ; 0 ;-1)\) et de rayon \(R=2\)

   1. Montrer que le plan \((O A B)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((C)\)

   2. Calculer la distance \(\Omega A\), en déduire le centre et le rayon du cercle \((C)\)

3. Soit \((P)\) le plan d’équation: \(2 x-y+z=0\). Montrer que \((P) \perp(O A B)\)

4. Soit \((\Delta)\) est la droite d’intersection des plans \((P) \operatorname{et}(O A B)\). Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\)

Barème détaillé : 1) et 2.a–e) : 0,5 pt chacune.

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2-3 z+3=0\)

2. Dans le plan complexe rapporté d’un repère orthonormé \((O, \vec{u}, \vec{v})\) On considère les points \(A ; B\) et \(C\) d’affixes :
   \[a=\frac{3}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2} ; \quad b=\bar{a}-1 \quad ; \quad c=b+\overline{4 i b}\]

   1. Écrire \(a\) sous forme trigonométrique ; en déduire que : \(a b=3-a\)

   2. Donner la forme algébrique de \(b\), puis vérifier que \(a-b=2 \bar{b}\)

   3. On considère la rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\).
      Montrer que l’affixe du point \(D\) image du point \(A\) par \(R\) est \(d=\bar{a}\)

   4. Vérifier que \(\frac{c-b}{a-b}=-2 i\), puis en déduire la nature du triangle \(A B C\)

   5. Calculer l’aire du triangle \(A B C\)

Barème détaillé : 1.A) 0,5 ; 1.B) 0,5 ; 2.a–d) 0,5 chacune pt.

Une boite contient huit jetons indiscernables au toucher dont six blancs numérotés \(0,0,1,1,1,1\) et deux noirs numérotés 1,2 . On tire successivement et sans remise deux jetons de la boite.
On considère les deux événements :

• A : »les deux jetons tirés sont de couleurs différentes »

• B : »la somme des nombres marqués sur les deux jetons tirés est 2″

1. Montrer que : \(p(A)=\frac{3}{7}\) et \(p(B)=\frac{3}{7}\)

2. Soit \(X\) la variable aléatoire qui associe à chaque tirage la somme des nombres marqués sur les deux jetons tirés.

   1. Déterminer l’ensemble des valeurs prises par \(X\)

   2. Montrer que \(p(X=1)=\frac{5}{14}\)

   3. Déterminer la loi de probabilité de \(X\)

   4. Calculer l’espérance mathématique \(E(X)\)

Barème détaillé : 1) à 4) : 0,5 chacune ; 5) 0,25 ; 6.a–b) 0,5 chacune ; 7.a–b) 0,5 chacune ; 8) 0,5 ; 9) 0,25 ; 10.a–b) 0,5 chacune ; 11.a–c) 0,5 chacune ; 12) 0,5 pt.

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0 ;+\infty[\) par :
\[\left\{\begin{array}{l} f(x)=x(1-\ln x)^2 \quad \text { si }: \quad x>0 \\ f(0)=0 \end{array}\right.\]
Et soit \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j}) \cdot(\|\vec{i}\|=1 \mathrm{~cm})\)

1. Montrer que \(f\) est continue à droite en 0 .(Remarquer que \(\left.x(\ln x)^2=4(\sqrt{x} \ln \sqrt{x})^2\right)\)

2. Calculer \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}\) et interpréter géométriquement le résultat

3. Montrer que \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\)

4. Montrer que la courbe \((C)\) admet une branche parabolique dont on déterminera la direction.

5. Vérifier que \(f(x)-x=x \ln x(\ln x-2)\) pour tout \(x\) de \(] 0 ;+\infty[\) et en déduire la position relative de la courbe \((C)\) et la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=x\)

6. 1. Montrer que \(f^{\prime}(x)=(\ln x+1)(\ln x-1)\) pour tout \(x\) de \(] 0 ;+\infty[\)

   2. Dresser le tableau de variations de \(f\)

7. 1. Calculer \(f^{\prime \prime}(x)\) pour tout \(x\) de \(] 0 ;+\infty[\)

   2. Étudier la concavité de \((C)\) et déduire que le point \(A(1 ; 1)\) est le seul point d’inflexion

8. Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à la courbe \((C)\) au point \(A\)

9. Construire la courbe \((C)\) et la droite \((\Delta)\) dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\)

10. Soit \(h\) la restriction de \(f\) sur \([e ;+\infty[\)

    1. Montrer que la fonction \(h\) admet une fonction réciproque définie \(\operatorname{sur}[0 ;+\infty[\)

    2. Construire \(\left(C^{\prime}\right)\) la courbe représentative de la fonction \(h^{-1}\) dans le même repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\)

11. 1. Montrer que la fonction \(G: x \mapsto x^2 \ln x-\frac{x^2}{2}\) est une primitive de la fonction \(g: x \mapsto 2 x \ln x\) sur \(] 0 ;+\infty[\).

    2. En déduire que \(\int_1^e 2 x \ln x d x=\frac{e^2+1}{2}\)

    3. A l’aide d’une intégration par parties montrer que \(\int_1^e\left(x(\ln x)^2\right) d x=\frac{e^2-1}{4}\)

12. Calculer en \(\mathrm{cm}^2\) l’aire du domaine délimité par la courbe \((C)\), la droite \((\Delta)\) et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=e\)