Devoir maison n°1 — Semestre 1 (2021)

Les questions I et II sont indépendantes.

I. Soit \(\theta\) un élément de \(\left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\),
on considère les suites \((u_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) et \((v_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) définies par :
\[u_{n}=2^{n}\sin\left(\frac{\theta}{2^{n}}\right) \qquad\text{et}\qquad v_{n}=2^{n}\tan\left(\frac{\theta}{2^{n}}\right)\]

1. Démontrer que les suites \((u_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) et \((v_{n})_{n\in\mathbb{N}}\)
sont adjacentes et déterminer la limite commune \(l\). (2,5 pts)

II. Soit \(f_{n}\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^{+}\)
par \(f_{n}(x)=x^{n}+x^{n-1}+\dots+x^{2}+x-1\).

1. Démontrer que l’équation \(f_{n}(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha_{n}\)
sur \(\mathbb{R}^{+}\) puis déterminer \(\alpha_{1}\) et \(\alpha_{2}\).
(1,5 pt)

2.

1. Pour tout \(n\geq 1\) et pour tout \(x>0\), comparer \(f_{n}(x)\) et \(f_{n+1}(x)\).
   (0,25 pt)

2. Démontrer que pour tout \(n\geq 1\) on a \(f_{n+1}(\alpha_{n})>0\) puis déduire que
   \((\alpha_{n})\) est une suite décroissante. (0,5 pt)

3. Démontrer que \(\forall\,n\geq 1\) : \(0<\alpha_{n}\leq\dfrac{3}{4}\)
   puis calculer \(\lim(\alpha_{n})^{n+1}\). (0,5 pt)

3. Démontrer que \(\forall\,x\neq 1\) :
\[f_{n}(x)=\frac{x^{n+1}-2x+1}{x-1}\]
puis déduire que \(\forall\,n\in\mathbb{N}^{*}\) : \((\alpha_{n})^{n+1}=2\alpha_{n}-1\).
(0,75 pt)

4. Démontrer que la suite \((\alpha_{n})\) est convergente et calculer sa limite.
(0,5 pt)

5. Pour tout \(n\geq 1\) on pose \(u_{n}=\alpha_{n}-\dfrac{1}{2}\).

1. Démontrer que \(\forall\,n\geq 2\) : \(0<u_{n}\leq\dfrac{1}{4}\).
   (0,5 pt)

2. Démontrer que \(\forall\,n\in\mathbb{N}^{*}\) : \((1+2u_{n})^{n+1}=2^{n+2}u_{n}\).
   (0,5 pt)

3. Déduire que \(\forall\,n\in\mathbb{N}^{*}\) :
   \(0\leq u_{n}\leq\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}\) puis calculer \(\lim u_{n}\).
   (0,5 pt)

I. Soit \(h\) la fonction définie par :
\[h(x)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{2x}{x+1}}+\sqrt{2x-x^{2}}\right)\]

1. Déterminer \(D_{h}\) et démontrer que \(h\) est continue sur \(D_{h}\).
(2,5 pts)

2. Démontrer qu’il existe \((\alpha\,;\beta)\in\mathbb{R}^{2}\) :
\[\forall\,x\in\left[\frac{1}{2}\,;\frac{3}{2}\right]\;;\; 2\alpha<\sqrt{\frac{2x}{x+1}}+\sqrt{2x-x^{2}}\leq\beta x.\]
(1,5 pt)

3. Soit \([a\,;b]\subset[0\,;1]\), démontrer que :
\[\exists\,c\in[a\,;b]\;\; h(c)=\frac{a-c}{a-2b+c}.\]
(1,5 pt)

II. Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \([a\,;b]\)
et \(x_{1}\), \(x_{2}\) et \(x_{3}\) des réels de \([a\,;b]\).
Montrer que l’équation \(3f(x)=f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{3})\) admet au moins une solution sur \([a\,;b]\).
(2,5 pts)

III. Soit \(\varphi\) une fonction définie et continue sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\)
telle que \(\varphi(x)\neq 0\) pour tout \(x\) de \(I\).
Montrer que : \((\forall\,x\in I:\varphi(x)>0)\) ou \((\forall\,x\in I:\varphi(x)<0)\).
(2,5 pts)

IV. Soit \(\psi\) la fonction définie par \(\psi(x)=\dfrac{2x^{2021}-17x+15}{x-1}\).
Montrer que \(\psi\) est prolongeable par continuité en \(1\).
(1,5 pt)