Devoir surveillé n°2 — Semestre 1 (2019)

Les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes.

1. Calculer les limites suivantes :
\[\lim\sum_{k=0}^{2n+1}\frac{1}{\sqrt{n^{2}+k}} \qquad;\qquad \lim\underbrace{\sqrt{2\sqrt{2\dots\sqrt{2}}}}_{n\text{ fois}}\]
(2,5 pts)

2. Soit \(\theta\) un élément de \(\left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\),
on considère les suites \((u_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) et \((v_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) définies par :
\[u_{n}=2^{n}\sin\left(\frac{\theta}{2^{n}}\right) \qquad\text{et}\qquad v_{n}=2^{n}\tan\left(\frac{\theta}{2^{n}}\right)\]

1. Démontrer que \((u_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) est croissante et que \((v_{n})_{n\in\mathbb{N}}\)
   est décroissante, et calculer \(\lim(u_{n}-v_{n})\). (2 pts)

2. Démontrer que les suites \((u_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) et \((v_{n})_{n\in\mathbb{N}}\)
   sont adjacentes et déterminer la limite commune \(l\). (1,5 pt)

3. Soit \(f\) une fonction définie et continue sur \([0\,;1]\) et dérivable
sur \(]0\,;1[\) telle que \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\).
Démontrer que \(\exists\,c\in\,]0\,;1[\) : \(2c\,f'(c)=\sqrt{c}\).
(1,5 pt)

4. Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\). Démontrer que
\[\frac{b-a}{1+b^{2}}<\arctan b-\arctan a<\frac{b-a}{1+a^{2}}.\]
(1,5 pt)

Soit \(f_{n}\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^{+}\) par
\(f_{n}(x)=x^{n}+x^{n-1}+\dots+x^{2}+x-1\).

1. Démontrer que l’équation \(f_{n}(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha_{n}\)
sur \(\mathbb{R}^{+}\) puis déterminer \(\alpha_{1}\) et \(\alpha_{2}\).
(1 pt)

2.

1. Pour tout \(n\geq 1\) et pour tout \(x>0\), comparer \(f_{n}(x)\) et \(f_{n+1}(x)\).
   (0,5 pt)

2. Démontrer que pour tout \(n\geq 1\) on a \(f_{n+1}(\alpha_{n})>0\) puis déduire que
   \((\alpha_{n})\) est une suite décroissante. (0,75 pt)

3. Démontrer que \(\forall\,n\geq 1\) : \(0<\alpha_{n}\leq\dfrac{3}{4}\)
   puis calculer \(\lim(\alpha_{n})^{n+1}\). (0,5 pt)

3. Démontrer que \(\forall\,x\neq 1\) :
\[f_{n}(x)=\frac{x^{n+1}-2x+1}{x-1}\]
puis déduire que \(\forall\,n\in\mathbb{N}^{*}\) : \((\alpha_{n})^{n+1}=2\alpha_{n}-1\).
(0,75 pt)

4. Démontrer que la suite \((\alpha_{n})\) est convergente et calculer sa limite.
(0,5 pt)

5. Pour tout \(n\geq 1\) on pose \(u_{n}=\alpha_{n}-\dfrac{1}{2}\).

1. Démontrer que \(\forall\,n\geq 2\) : \(0<u_{n}\leq\dfrac{1}{4}\).
   (0,75 pt)

2. Démontrer que \(\forall\,n\in\mathbb{N}^{*}\) : \((1+2u_{n})^{n+1}=2^{n+2}u_{n}\).
   (0,75 pt)

3. Déduire que \(\forall\,n\in\mathbb{N}^{*}\) :
   \(0\leq u_{n}\leq\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}\) puis calculer \(\lim u_{n}\).
   (0,5 pt)

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x\sin x\).

1. Démontrer que \(f(x)+f''(x)=2\cos x\). (0,25 pt)

2. En déduire la fonction primitive de \(f\) qui s’annule en \(\pi\).
   (0,75 pt)

2. Soit \(g\) et \(h\) deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par :
\(g(x)=\cos x\cos 3x\) et \(h(x)=\sin x\sin 3x\).

1. Déterminer une fonction primitive sur \(\mathbb{R}\) de chacune des fonctions
   \(g+h\) et \(g-h\). (2 pts)

2. Déduire les fonctions primitives sur \(\mathbb{R}\) des fonctions \(g\) et \(h\).
   (2 pts)