Devoir surveillé n°2 — Semestre 2 (2022)

Soit \(F\) la fonction définie sur \(I = \,]0\,;+\infty[\) par \(\displaystyle F(x) = \int_{\ln 2}^{x} \frac{1}{\sqrt{e^{t}-1}}\,dt\).

1.

1. Étudier le signe de \(F(x)\), \(\forall x \in I\). (0,5 pt)

2. Démontrer que \(F\) est dérivable sur \(I\) et calculer \(F'(x)\). (1 pt)

3. Démontrer que \(F\) est strictement croissante sur \(I\). (0,5 pt)

2.

1. Par un changement de variable \(u = \sqrt{e^{t}-1}\), montrer que \(\forall x \in I\),
   \[\int_{\ln 2}^{x} \frac{1}{\sqrt{e^{t}-1}}\,dt = 2\arctan\!\left(\sqrt{e^{x}-1}\right) - \frac{\pi}{2}.\]
   (1,5 pt)

2. Calculer les limites suivantes : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} F(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} F(x)\). (0,5 pt)

3.

1. Montrer que \(F\) est une bijection de \(I\) vers \(J\) à déterminer. (0,5 pt)

2. Déterminer l’application bijective \(F^{-1} : J \longmapsto I\). (1,5 pt)

1. On pose \(a = pn\) et \(b = p(n-1)\) et soit \(p\) et \(n\) tels que \(p \in \mathbb{N}^{*}\) et \(n \in \mathbb{N}^{*} - \{1\}\). Montrer que \(a \wedge b = a - b\). (0,75 pt)

2. Démontrer que si \(a\) et \(b\) sont deux entiers de \(\mathbb{N}^{*}\) vérifiant : \(a \wedge b = a - b\) alors il existe deux entiers naturels \(p\) et \(n\) tels que \(a = pn\) et \(b = p(n-1)\). (1,75 pt)

3. Application. Soit \(x\) et \(y\) deux entiers de \(\mathbb{N}^{*}\). On considère \(a = 40x(3y+2)\) et \(b = 15x(8y+5)\) et \(c = 24x(5y+3)\).

1. Déterminer \(a \wedge b\) et \(b \wedge c\). (1,5 pt)

2. Vérifier que \(a \wedge b \wedge c = x\). (1 pt)

1. On considère l’équation \((E) : 25x - 108y = 1\) avec \(x\) et \(y\) dans \(\mathbb{Z}\).

1. L’équation \((E)\) admet-elle des solutions dans \(\mathbb{Z}\) ? Justifier. (0,5 pt)

2. Vérifier que le couple \((13\,;\,3)\) est une solution de \((E)\). (0,75 pt)

3. Résoudre dans \(\mathbb{Z}^{2}\) l’équation \((E)\). (1,75 pt)

2. Soient \((x, a, c, g)\) des entiers naturels tels que \(25g - 108c = 1\).

1. Démontrer que si \(x \equiv a\,[19]\) et \(x \equiv a\,[7]\) alors \(x \equiv a\,[133]\). (0,75 pt)

2. 1. Vérifier que \(\forall x \in \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}\ ;\ x^{6} \equiv 1\,[7]\). (0,75 pt)

   2. On suppose que \(a\) n’est pas un multiple de \(7\). Démontrer que \(a^{108} \equiv 1\,[7]\). (1 pt)

   3. En déduire que \((a^{25})^{g} \equiv a\,[7]\). (0,5 pt)

   4. On suppose que \(a\) est un multiple de \(7\). Démontrer que \((a^{25})^{g} \equiv a\,[133]\). (1,25 pt)

   5. On admet que pour tout entier naturel \(a\) : \((a^{25})^{g} \equiv a\,[19]\). Démontrer que \((a^{25})^{g} \equiv a\,[133]\). (1,75 pt)