Devoir surveillé n°3 — Semestre 1 (2017)

Pour chaque entier naturel \(n\), on définit sur l’intervalle \(]0\,;+\infty[\)
la fonction \(f_{n}\) par \(f_{n}(x)=\dfrac{e^{x}-1}{x}+n\ln x\).

Partie A : étude du cas particulier \(n=0\).
\(f_{0}\) est donc définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f_{0}(x)=\dfrac{e^{x}-1}{x}\).

1. Justifier, pour tout réel \(t\), l’inégalité \(e^{t}\geq t+1\).
En déduire que pour tout réel \(x\), \(e^{-x}+x-1\geq 0\),
puis que, pour tout réel \(x\), \(1+(x-1)e^{x}\geq 0\).
(0,5 pt)

2. Déterminer les limites de \(f_{0}\) en \(0\) et en \(+\infty\).
(0,5 pt)

3. Montrer que, pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0\,;+\infty[\),
la dérivée de \(f_{0}\) est donnée par \(f'_{0}(x)=\dfrac{e^{x}(x-1)+1}{x^{2}}\).
(0,25 pt)

En déduire le sens de variation de \(f_{0}\). (0,25 pt)

4. Représenter la courbe \(C_{0}\) de \(f_{0}\) dans le plan muni d’un repère
orthonormé d’unité graphique \(2\) cm. (0,5 pt)

Partie B : étude de la famille de fonctions \(f_{n}\) pour \(n\geq 1\).
On appelle \(C_{n}\) la courbe représentative de \(f_{n}\) dans le repère précédent.

1. Déterminer le sens de variation de \(f_{n}\) sur l’intervalle \(]0\,;+\infty[\).
(0,5 pt)

2. Déterminer les limites de \(f_{n}\) en \(0\) et en \(+\infty\).
En déduire que \(C_{n}\) possède une asymptote que l’on précisera.
(0,75 pt)

3. Étudier les positions relatives des courbes \(C_{n}\) et \(C_{n+1}\).
(0,5 pt)

4. Montrer que toutes les courbes \(C_{n}\) passent par un même point \(B\)
dont on précisera les coordonnées. (1 pt)

5. Pour tout entier naturel non nul \(n\), montrer qu’il existe un unique réel \(a_{n}\)
appartenant à \(]0\,;1[\) tel que \(f_{n}(a_{n})=0\). (0,75 pt)

6. Montrer que, pour tout entier naturel non nul \(n\),
\(f_{n+1}(a_{n})=\ln(a_{n})\). En déduire que \(a_{n}\leq a_{n+1}\),
puis que la suite \((a_{n})\) est convergente. (1 pt)

7.

1. En utilisant la partie A, montrer que pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0\,;1]\),
   \(\dfrac{e^{x}-1}{x}\leq e-1\). (0,5 pt)

2. En déduire que, pour tout entier naturel non nul \(n\),
   \(\ln(a_{n})\geq\dfrac{1-e}{n}\), puis que \(a_{n}\geq e^{\frac{1-e}{n}}\).
   (1 pt)

3. En déduire la limite de la suite \((a_{n})\). (0,5 pt)

8. Construire sur le graphique précédent les courbes \(C_{1}\) et \(C_{2}\).
(1,5 pt)

Les questions I et II sont indépendantes.

I. Soit \(f\) une fonction définie sur un segment et continue sur \([0\,;1]\)
et dérivable sur \(]0\,;1[\), avec \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\).
Montrer que \((\exists\,c\in\,]0\,;1[):2c\,f'(c)=\sqrt{c}\).
(2 pts)

II. Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(]-1\,;+\infty[\) par :
\(f(x)=\ln(x+1)-x+\dfrac{x^{2}}{2}\) et \(g(x)=\ln(x+1)-x+\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\).

1.

1. Calculer les limites suivantes :
   \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to(-1)^{+}}f(x)\)
   et \(\displaystyle\lim_{x\to(-1)^{+}}g(x)\). (1,5 pt)

2. Démontrer que : \(\forall\,x\in\,]-1\,;+\infty[\) on a
   \(g(x)=(x+1)\left(\ln(x+1)-\dfrac{2x^{3}-3x^{2}+6x}{6(x+1)}\right)\)
   et déduire \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)\). (1 pt)

3. Étudier les variations de \(f\) et \(g\) et donner le tableau de chaque fonction.
   (3 pts)

2. Déduire de ce qui précède que
\(x-\dfrac{x^{2}}{2}<\ln(x+1)<x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}\),
\(\forall\,x\in\,]0\,;+\infty[\). (1 pt)

3. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x-\ln(1+x)}{x^{2}}\).
(0,25 pt)

4. Montrer que
\(x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{4}}{4}<\ln(x+1)<x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}\),
\(\forall\,x\in\,]0\,;+\infty[\). (1,25 pt)